Funkcijų tyrimas 12 klasėje

Pateikčių temos: "Funkcijų tyrimas 12 klasėje"— Pateikties kopija:

1 Funkcijų tyrimas 12 klasėje
Darbo autorius: Klaipėdos “Vėtrungės” gimnazijos matematikos vyr. mokytoja Rasa Brazinskaitė

2 Funkcijų savybių tyrimas:
1) Nustatome funkcijos apibrėžimo sritį. 2) Išsiaiškiname, ar funkcija lyginė, ar nelyginė, ar ji yra periodinė. 3) Randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis ( tokių taškų gali ir nebūti). 4) Nustatome funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, ekstremumus. 5) Tiriame funkcijos elgesį, nepriklausomajam kintamajam neapibrėžtai didėjant arba mažėjant.

3 1) D(p) = R; 2) Funkcija yra nelyginė, nes p(-x) = - p(x); 3) Kai x = 0, tai p(0) = 0. Taigi funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taške O(0;0). 4) Kadangi p'(x) = 3x² + 1,tai funkcijos išves-tinės reikšmės yra teigiamos. Taigi funkcija yra didėjanti ir ekstremumų neturi. 5) Kai x   , tai p(x)   .

4

5 1) D(p) = R. 2) p(-x) = -x³  2x = - (x³ - 2x) = - p(x), funkcija yra nelyginė. 3) Kai x = 0, tai p(0) = 0. Randame lygties x³ - 2x = 0 sprendinius: x = 0, x = -√2 ir x = √2. Taigi funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0;0), (-√2 ;0) ir (√2;0).

6 4) p'(x) = 3x² - 2; p'(x) = 0, kai 3x² - 2 = 0, t. y. x = - √2∕3 ir x = √2∕3 ; p‘(x) > 0, kai 3x² - 2 > 0  (-; -√2∕3 ) ir (√2∕3 ; ) yra funkcijos reikšmių didėjimo intervalai; p'(x) < 0, kai 3x²-2 < 0  (-√2∕3 ; √2∕3 ) yra funkcijos mažėjimo intervalas. 5) Kai x  , tai p(x) = x(x² - 2) → ; kai x  -, tai p(x) = x(x² - 2) → -.

7

8 1) D(p) = R. 2) p(-x) = - p(x), funkcija yra nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0;0), (-√3;0), (√3;0). 4) p'(x) = 3x² - 3; p'(x) = 0, kai x = -1 ir x = 1; p'(x) > 0, kai x < -1 ir x > 1; p'(x) < 0, kai - 1 < x < 1. 5) Kai x   , tai p(x) = x(x² - 3) →  ; kai x  - , tai p(x) = x(x² - 3) → - .

9

10 1) D(p) = R. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0;0), (3;0). 4) p'(x) = 3x² - 6x; p'(x) = 0, kai x = 0 ir x = 2; p'(x) > 0, kai x < 0 ir x > 2; p'(x) < 0, kai 0 < x < 2. 5) Kai x   , tai p(x) = x²(x - 3) →  ; kai x  - , tai p(x) = x²(x - 3) → - .

11

12 2) p(-x) = p(x), funkcija yra lyginė.
1) D(p) = R. 2) p(-x) = p(x), funkcija yra lyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0;0), (-2;0) ir (2;0). 4) p'(x) = 4x³- 8x; p'(x) = 0, kai x = 0, x = - √2 ir x = √2; p'(x) > 0, kai -√2 < x < 0 ir x > √2; p'(x) < 0, kai x < -√2 ir 0 < x < √2. 5) Kai x    ir x  - , tai p(x) →  .

13

14 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
1) D(p) = R. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0; 0) ir (1; 0). 4) p'(x) = (x -1)³ + 3x(x -1)² = (x - 1)²(4x -1); p'(x) = 0, kai x =1, x = ¼; p'(x) > 0, kai ¼ < x < 1 ir x >1; p'(x) <0, kai x < ¼. 5) Kai x    ir x  - , tai p(x) →  .

15

16 1) D(f) = (-∞;1) U (1;+∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta vieninteliame taške (0;0). 4) Visoje apibrėžimo srityje funkcijos išves-tinės reikšmės yra neigiamos, t.y. f'(x) < 0. Funkcija yra mažėjanti ir ekstremumų neturi. 5) Kai x   , tai 1/(x-1) → 0, o f(x) → 1. Grafikas- hiperbolė y=1/x, pastumta per 1 į viršų ir per 1 į dešinę.

17

18 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
1) D(f) = (-∞; -1) U (-1; +∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis ker-ta taškuose (0;-1) ir (1;0). 4) Kadangi f'(x) >0 visoje apibrėžimo srityje, tai funkcija yra didėjanti ir ekstremumų neturi. 5) Kai x    arba x  - , tai 2/(x+1)  0, o f(x) → 1.

19

20 1) D(f) = (-∞; -1) U ( -1; 1) U (1; +∞).
2) f(-x) = f(x), funkcija yra lyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taške (0; -1). 4) f'(x) = 2x:(x²-1)²; f'(x) = 0, kai x = 0; f'(x) > 0, kai x < -1 ir -1< x <0; f'(x) < 0, kai < x < 1 ir x >1. 5) Kai x→+∞ ir x→ -∞ , tai f(x) →0; kai x→1 (x >1), tai f(x) →+∞ ; kaix→1(x <1), tai f(x)→-∞; kai x→-1(x < -1), tai f(x) →+∞; kaix→-1(x > -1), tai f(x) → - ∞ .

21

22 1) D(f) = (-∞; 0) U ( 0; 1) U (1; +∞).
2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių. 4) f'(x) = 0, kai x = ½; f'(x) > 0, kai x < 0 ir 0< x < ½; f'(x) < 0, kai ½ < x < 1 ir x >1. 5) Kai x    ir x  - , tai f(x)  0.

23

24 1) D(f) = R. 2) f(-x) = - f(x),funkcija yra nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta vieninteliame taške (0;0). 4) f'(x) = 0, kai x = -1 ir x = 1; f'(x) > 0, kai -1 < x < 1; f'(x) < 0, kai x < -1 ir x >1. 5) Kai x    ir x  - , tai f(x)  0.

25

26 1) D(f) = (-∞; -1) U ( -1; 1) U (1; +∞).
2) Funkcija yra nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taške (0;0). 4) f'(x) = 0, kai x = 0, x= -√3 ir x = √3; f'(x) > 0, kai x < -√3 ir x > √3; f'(x) < 0, kai -√3 < x < -1, -1 < x < 0, 0 < x < 1 ir 1 < x < √3. 5) Kai x  , tai f(x)  ; kai x  -, tai f(x)  -; kai x  1(x >1), tai f(x)  ; kai x 1(x < 1), tai f(x)   .

27

28 1) D(g) = [ -2 ; 2 ]. 2) Funkcija yra lyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis ker-ta taškuose (0; 2), (-2; 0) ir (2; 0). 4) g‘(x) = 0, kai x = 0 ; g'(x) > 0, kai -2 < x < 0; g'(x) < 0, kai 0 < x < 2. 5) Funkcijos grafikas – apskritimo lanko viršutinė dalis.

29

30 1) D(g) = [ 0 ;   ]. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0; 0), (1; 0). 4) g‘(x) = 0, kai x = ⅓; g'(x) > 0, kai x > ⅓; g'(x) < 0, kai 0 < x < ⅓. 5) Kai x → - ∞, tai g(x) → + ∞

31

32 1) D(g) = (-∞; 1]. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0; 0), (1; 0). 4) g'(x) = 0, kai x = ⅔; g'(x) > 0, kai x < ⅔; g'(x) < 0, kai ⅔ < x <1. 5) Kai x → - ∞, tai g(x) → - ∞.

33

34 1) D(x) = (-∞; -1] U [1; +∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių. 4) g'(x) ≠0, vadinasi funkcija ekstremumų neturi; g'(x) > 0, kai x > 1; g'(x) < 0, kai x < -1 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → + ∞; kai x → - ∞, tai g(x) → 0.

35

36 2) Funkcija yra nelyginė.
1) D(x) = [ -√2; √2 ]. 2) Funkcija yra nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0; 0), (-√2; 0), (√2; 0). 4) g'(x) = 0, kai x = - 1 ir x = 1; g'(x) > 0, kai -1 < x < 1; g'(x) < 0, kai -√2 < x < - 1 ir 1 < x < √2. 5) Intervalo [ -√2; √2 ] galuose grafiko liestinės vertikalios, nes g(x) neapibrėžtai auga, kai x→ √2 arba x→ - √2 .

37

38 2) Funkcija yra nelyginė.
1) D(f) = R. 2) Funkcija yra nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašis kerta taškuose (0; 0), (-3√3; 0), (3√3; 0). 4) g'(x) = 0, kai x = - 1 ir x = 1. Taškas x = 0 - taip pat kritinis( jame išvestinė neapibrėžta). Tačiau pereidamos šį tašką išvestinės reikšmės ženklo nekeičia. g'(x) >0, kai -1<x<1; g'(x) <0, kai x<-1ir x >1. 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → - ∞; kai x → - ∞, tai g(x) → + ∞.

39

40 1) D(f) = R. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Kai x = 0, tai f(0) = 0 + eº = 1. Taigi grafi-kas kerta Oy ašį taške (0;1). Ox ašies funk-cijos grafikas nekerta. 4) f'(x) = 0, kai x = 0; f'(x) > 0, kai x > 0; f'(x) < 0, kai x < 0. 5) Kai x → + ∞, tai f(x) → + ∞; kai x → - ∞, tai f(x) → + ∞.

41

42 1) D(f) = R. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Kai x = 0, tai f(0) = 0 + eº = 1. Taigi grafi-kas kerta Oy ašį taške (0; 1). Ox ašies funk-cijos grafikas nekerta. 4) f'(x) = 0, kai x = 0; f'(x) > 0, kai x > 0; f'(x) < 0, kai x < 0. 5) Kai x → + ∞ ir x → - ∞, tai f(x) → + ∞.

43

44 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
1) D(f) = R. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Taškas (0; 0) – vienintelis taškas, kuriame funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis. 4) f'(x) = 0, kai x = -1; f'(x) > 0, kai x > -1; f'(x) < 0, kai x < -1. 5) Kai x → + ∞, tai f(x) → + ∞; kai x → - ∞, tai f(x) → 0.

45

46 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
1) D(f) = (-∞; 0) U (0; +∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas koordinačių ašių neker-ta. 4) f'(x) = 0, kai x = 1; f'(x) > 0, kai x > 1; f'(x) < 0, kai x < 0 ir 0 < x <1. 5) Kai x → + ∞, tai f(x) → + ∞; kai x → - ∞, tai f(x) → 0.

47

48 1) D(g) = ( 0; + ∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas kerta Ox ašį taške (1;0). 4) g'(x) = 0, kai x = 1; g'(x) > 0, kai 0 < x <1; g'(x) < 0, kai x > 1( x < 0 netinka, nes nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai). 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → - ∞; Kai x → 0(x >0), tai g(x) → - ∞, nes lnx → - ∞.

49

50 1) D(g) = ( 0; + ∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių. 4) g'(x) = 0, kai x = -1 ir x = 1.Taškas x = -1 nepriklauso apibrėžimo sričiai, vadinasi kritinis taškas yra x = 1. g'(x) > 0, kai x > 1; g'(x) < 0, kai 0 < x <1. 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → +∞; Kai x → 0(x >0), tai g(x) → + ∞, nes ln x → - ∞.

51

52 1) D(g) = ( 0; + ∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Kadangi x≠0, tai funkcijos grafikas Oy ašies nekerta. Ox ašį kerta taške (1; 0). 4) g'(x) = 0, kai x = e; g'(x) > 0, kai 0 < x < e; g'(x) < 0, kai x > e. 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → 0; kai x → 0 (x > 0), tai g(x) → - ∞.

53

54 1) D(g) = ( 0; + ∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas Oy ašies nekerta, o Ox ašį kerta taške (1;0). 4) g'(x) = 0, kai x = e²; g'(x) > 0, kai 0 < x < e²; g'(x) < 0, kai x > e². 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → 0; kai x → 0(x >0), tai g(x) → - ∞.

55

56 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
1) D(g) = ( 0; 1 ) U ( 1; + ∞). 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių. 4) g'(x) = 0, kai x = e; g'(x) > 0, kai x > e; g'(x) < 0, kai 0 < x <1 ir 1 < x <e. 5) Kai x → + ∞, tai g(x) → + ∞; kai x → 0(x >0), tai g( x) → 0; kai x →1(x >1), tai g(x) → + ∞; kai x →1(x <1 ), tai g(x) → - ∞.

57

58 1) D(g) = (-∞ ; 0) U ( 1; + ∞) 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. 3) Funkcijos grafikas nekerta koordinačių ašių. 4) g'(x) ≠0, vadinasi funkcija ekstremumų ne-turi; g'(x) > 0, kai 0 < x <1 , Tačiau šie x ne-priklauso D(g) ; g'(x) < 0, kai x < 0 ir x >1. Taigi funkcija yra mažėjanti. 5) Kai x→+∞ ir x→ -∞, tai g(x) →0; kai x →0(x <0), tai g(x) → - ∞; kai x →1(x >1), tai g(x) → + ∞.

59

60 1) D(h)=R. 2) Funkcija yra lyginė ir periodinė. Jos periodas . 3) Kai x = 0, tai h(0) = 0. Lygties sin²x = 0 sprendiniai yra x = k, kZ. 4) h'(x) = sin2x; h'(x) = 0, kai x = k/2, kZ; h'(x) > 0, kai k < x < /2 + k, kZ; h'(x) < 0, kai /2 + k < x <  + k, kZ. 5) h(0) = 0 - mažiausia funkcijos reikšmė intervale [0; /2]; h(/2) = 1- didžiausia funkcijos reikšmė intervale [0; /2].

61

62 1) D(h) = R. 2) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jos periodas 2. Nagrinėkime funkciją intervale [0; 2]. 3) h(0) = 0. h(x) = 0, kai x = n arba x = /2 + 2n, nZ; 4) h'(x) = cosx - 2sinxcosx; h'(x) = 0, kai x = /2 + n arba x = (-1)ⁿ/6 + n, nZ. h'(x) > 0, kai 3/2 + 2n < x < 136 + 2n ir /2 + +2n < x < 5/6 + 2n, nZ h'(x) < 0, kai 5/6 + 2n < x < 3/2 + 2n ir /6 + 2n < x < /2 + 2n, nZ

63 Tęsinys 5) h(/6) = h(5/6) = 1/4( max),
h(/2) =0 (min), h(3/2) = -2(min).

64

65 1) D(h) = R. 2) Funkcija lyginė ir jos periodas 2. 3) h(0) = ½, funkcijos grafikas kerta koordi-načių ašis taškuose (0; ½) ir (± arccos(1-√3)/2 + 2n; 0), nZ. 4) h'(x) = - sinx + sin2x; h'(x) = 0, kai x = n arba x = ± /3 + 2n, nZ; h'(x) > 0, kai 2n < x < /3 + 2n ir  + 2n < x < 5/3 + 2n, nZ;

66 Tęsinys 4) h'(x) < 0, kai -/3 + 2n < x < 2n ir /3 + n < x <  + n,nZ. 5) h(0) = ½ (min), h() = - 1,5( min), h(/3) = ¾(max).

67

68 1) D(h) = R. 2) Funkcija nelyginė ir jos periodas 2. 3) Funkcijos grafikas eina per taškus (0;0) ir (n ; 0), nZ. 4) h'(x) = cosx + cos2x; h'(x) = 0, kai x =  + 2n ir x = ± /3 + 2n, nZ; h'(x) > 0, kai - /3 + 2n < x < /3 + 2n, nZ; h'(x) < 0, kai /3 + 2n < x <  + 2n ir  + 2n < x < 5/3 + 2, nZ.

69 Tęsinys 5) Taškuose x = /3 + 2n funkcija įgyja maksimumus, lygius 3√3/4; taškuose x = 5/3 + 2n – minimumus, lygius - 3√3/4, nZ.

70