Ekvivalentūs kodai [Ske16, 1.6, 37-38 p.].

Pateikčių temos: "Ekvivalentūs kodai [Ske16, 1.6, 37-38 p.]."— Pateikties kopija:

1 Ekvivalentūs kodai [Ske16, 1.6, p.]

2 {00100} ~ {01000} ~ {10000} ir t.t. Čia ~ žymi ekvivalentiškumą.
Ekvivalentūs kodai Kai užkoduojame pranešimą ir siunčiame kodo žodį kanalu be atminties, tai galimų iškraipymų požiūriu nėra skirtumo, kuria tvarka persiunčiame to kodo žodžio simbolius. Ekvivalentūs kodai - kodai, kurie skiriasi tik simbolių eilės tvarka. {00100} ~ {01000} ~ {10000} ir t.t Čia ~ žymi ekvivalentiškumą.

3 Perstatos (keitiniai)
Kad galėtume duoti formalų ekvivalenčių kodų apibrėžimą, prisiminsime perstatos (keitinio) sąvoką. Tarkime, turime baigtinę aibę I = {1, , n}. Abipusiškai vienareikšmį atvaizdį (bijekciją) σ : I → I vadina keitiniu (perstata). Perstata dažnai užrašoma taip:

4 Perstatos pavyzdys Pavyzdžiui, turime baigtinę aibę I = {1, , n}. Jei n = 5, tai σ : I → I, apibrėžta taip: σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 4, σ(4) = 5, σ(5) = 1, yra perstata.

5 Užduotis - perstatos Turime baigtinę aibę I = {1, , n}. Jei n = 4, tai σ : I → I, apibrėžta taip: σ(1) = 4, σ(2) = 3, σ(3) = 1, σ(4) = 2, yra perstata.

6 Užduotis - perstatos Turime baigtinę aibę I = {1, , n}. Jei n = 4, tai σ : I → I, apibrėžta taip: σ(1) = 4, σ(2) = 3, σ(3) = 1, σ(4) = 2, yra perstata. σ = { }

7 Perstatos Perstatas galime naudoti vektorių koordinačių keitimui vietomis. Laikysime, kad I = {1, , n} — vektoriaus x = (x1, , xn) indeksų aibė. Tada sukeičiame vektoriaus x koordinates taip, kaip nurodo perstata σ, t. y. pirmą koordinatę x1 perkeliame į σ(1) vietą, antrą — į σ(2) vietą ir t.t Gautą vektorių žymėsime σ(x).

8 Persatos Pavyzdžiui, jei x = (x1, x2, x3, x4, x5), tai panaudoję paskutinio pavyzdžio perstatą σ, gausime vektorių σ(x) = (x5, x1, x2, x3, x4). Pirmą koordinatę x1 perkeliame į antrą poziciją ir t.t., o pirmoje vietoje atsiduria x5, nes σ(5) = 1. Nesunku pastebėti, kad jei x = (x1, , xn), tai σ(x) = (xσ−1(1), , xσ−1(n)), kur σ −1 — atvirkštinė σ perstata, t. y. tokia perstata, kad σ −1 (σ(i)) = i ∀i.

9 Persatos Nesunku pastebėti, kad jei x = (x1, , xn), tai σ(x) = (xσ−1(1), , xσ−1(n)), kur σ −1 — atvirkštinė σ perstata, t. y. tokia perstata, kad σ −1 (σ(i)) = i ∀i. Perstata σ : I → I apibrėžia funkciją σ : An → An. Ši funkcija tiesiog sukeičia vektoriaus koordinates vietomis.

10 Persatos Jei C yra kodas, žymėsime σ(C) = {σ(x) : x ∈ C}, t. y. σ(C) bus kodas, gautas sukeitus visų kodo C žodžių koordinates pagal tą pačią perstatą σ.

11 Persatos - pavyzdys Tegu C = {0000, 1100, 0011, 1111} yra dvinaris kodas, perstata: Tada σ(C) = {0000, 0110, 1001, 1111}.

12 Perstatos - užduotis Tegu C = { , } yra dvinaris kodas, perstata: σ = { } Tada σ(C) = {? , ?}.

13 Perstatos - užduotis Tegu C = { , } yra dvinaris kodas, perstata: σ = { } Tada σ(C) = { , ?}.

14 Perstatos - užduotis Tegu C = { , } yra dvinaris kodas, perstata: σ = { } Tada σ(C) = { , }.

15 Ekvivalentūs kodai Du ilgio n kodai C ir C ′ vadinami ekvivalenčiais, jei egzistuoja tokia indeksų aibės {1, , n} perstata σ, kad σ(C) = C ′.

16 Ekvivalentūs kodai - pavyzdys
Dvinariai kodai C ={0000, 1100, 0011, 1111} ir C′={0000, 0110, 1001, 1111} yra ekvivalentūs, nes C′= σ(C).

17 Ekvivalentūs kodai - pastaba
Nesunku įsitikinti, kad ekvivalenčių kodų ilgiai, dydžiai, minimalūs atstumai, žodžių svorių pasiskirstymai sutampa. Taip yra todėl, nes sukeitus vektoriaus koordinates vietomis, vektoriaus ilgis bei svoris išlieka tokie patys.

18 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {1010, 1101, 0011, 1001} ir C′ ={1010, 1100, 0110, 1011} yra ekvivalentūs, ir jei yra, raskime tokią perstatą σ, kad C ′ = σ(C). Uždavinį galima spręsti išsamiosios perstatos būdu, tikrinant visas galimas perstatas. Tačiau jų yra n! , todėl kartais tai užtruktų per ilgai. Yra ir kitų sprendimų.

19 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {1010, 1101, 0011, 1001} ir C′ ={1010, 1100, 0110, 1011} yra ekvivalentūs. Nagrinėjame kodų žodžius, tikriname jų svorių pasiskirstymą: kodai turi po tris svorio 2 žodžius ir po vieną svorio 3 žodį (jeigu nesutaptų – kodai neekvivalentūs). Matome, jog perstata žodį 1101 atvaizduoja 1011, todėl σ(3) = 2.

20 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {1010, 1101, 0011, 1001} ir C′ ={1010, 1100, 0110, 1011} yra ekvivalentūs. σ={ ? ? ? } Galime suskaičiuoti, kiek vienetų stovi pirmo kodo žodžių kiekvienoje pozicijoje, ir palyginti su antro kodo vienetų skaičiumi.

21 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Kodo C pirmame stulpelyje yra 3 vienetai, antrame — 1, trečiame — 2, ketvirtame — 3. Kodo C′ atitinkamai 3,2,3,1. (Jeigu nesutaptų – būtų neekvivalentūs)

22 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Matome, kad antras kodo C stulpelis, kuriame yra 1 vienetas, būtinai keliauja į ketvirtą poziciją ir trečias — į antrą, ką jau žinojome. Todėl sprendžiame, jog σ(2) = 4. σ={ ? ? }

23 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Yra tik dvi perstatos su tokiomis reikšmėmis

24 Ar kodai ekvivalentūs - pavyzdys
Yra tik dvi perstatos su tokiomis reikšmėmis Ir matome, jog abi jos kodo C koordinates sukeičia taip, kad gauname kodą C′. Išvada: kodai ekvivalentūs.

25 Ar kodai ekvivalentūs - užduotis
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {0001, 1010, 1101, 1000} ir C′ ={0000, 1010, 0111, 0010} yra ekvivalentūs. Jei yra, raskime tokią perstatą σ, kad C ′ = σ(C).

26 Ar kodai ekvivalentūs - užduotis
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {0001, 1010, 1101, 1000} ir C′ ={0000, 1010, 0111, 0010} yra ekvivalentūs. Jei yra, raskime tokią perstatą σ, kad C ′ = σ(C). Nėra ekvivalentūs, nes kodas C′ turi svorio 0 žodį, o kodas C tokio neturi.

27 Ar kodai ekvivalentūs - užduotis
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {0001, 1010, 1101, 0000} ir C′ ={0100, 1010, 0111, 0000} yra ekvivalentūs. Jei yra, raskime tokią perstatą σ, kad C ′ = σ(C).

28 Ar kodai ekvivalentūs - užduotis
Nustatykime, ar dvinariai kodai C = {0001, 1010, 1101, 0000} ir C′ ={0100, 1010, 0111, 0000} yra ekvivalentūs. Jei yra, raskime tokią perstatą σ, kad C ′ = σ(C). σ = { }