Pateiktis įkeliama. Prašome palaukti

Pateiktis įkeliama. Prašome palaukti

Dualus kodas [Ske16, 2.4.1-2.4.2, 52-54 p.].

Panašios pateiktys


Pateikčių temos: "Dualus kodas [Ske16, 2.4.1-2.4.2, 52-54 p.]."— Pateikties kopija:

1 Dualus kodas [Ske16, , p.]

2 Temos Dualus kodas Ekvivalenčių kodų dualūs kodai

3 Dualus kodas Tegu x = (x1, , xn) ir y = (y1, , yn) yra erdvės 𝔽 𝑞 𝑛 vektoriai. Jų skaliarine sandauga vadinsime įprastą vektorių skaliarinę sandaugą, t. y. x · y = x1y1 + · · · + xnyn čia 𝒙 ∙𝒚∈ 𝔽 𝒒 , t. y. sandaugos ir sumos operacijos atliekamos kūne 𝔽 𝑞 .

4 Pavyzdys 𝑥= 1,1,1,2 𝑦= 1,2,0,2 𝑥,𝑦 ∈ 𝔽 3 4 𝑥∙𝑦=1∙1+1∙2+1∙0+2∙2= =1

5 Dualus kodas Vektoriai vadinami ortogonaliais (statmenais), jei jų skaliarinė sandauga lygi nuliui. Pvz.: 𝑥= 1,1,1 𝑦= 1,0,1 𝑥,𝑦 ∈ 𝔽 2 3 𝒙∙𝒚=𝟏∙𝟏+𝟏∙𝟎+𝟏∙𝟏=𝟏+𝟎+𝟏=𝟎

6 Dualus kodas Tegu 𝐶 𝑛,𝑘 yra tiesinis kodas virš baigtinio kūno 𝔽 𝑞 . Čia n – kodo C ilgis, k – dimensija (bazės vektorių skaičius). Kodo C dualus kodas, žymimas 𝑪 ⊥ , yra tiesinio kodo C ortogonali erdvė t. y. aibė vektorių, ortogonalių kiekvienam kodo C žodžiui: 𝐶 ⊥ = 𝑥∈ 𝔽 𝑞 𝑛 :𝑥∙𝑦=0 ∀𝑦∈𝐶

7 Pavyzdys Tarkime, dvinaris tiesinis kodas 𝐶 3,2 yra generuotas matricos 𝑮= 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 0∙110+0∙101= =000 0∙110+1∙101= =101 1∙110+0∙101= =110 1∙110+1∙101= =011 𝑪= 𝟎𝟎𝟎,𝟏𝟎𝟏,𝟏𝟏𝟎,𝟎𝟏𝟏 Kodo C dualus kodas 𝐶 ⊥ bus sudarytas iš tų erdvės 𝔽 𝟐 𝟑 vektorių, kurie ortogonalūs kiekvienam kodo C vektoriui. 𝔽 𝟐 𝟑 ={𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏,𝟎𝟏𝟎,𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟏𝟏,𝟏𝟎𝟏,𝟏𝟏𝟎,𝟏𝟏𝟏}

8 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000,101,110,011 000∙000=0∙0+0∙0+0∙0=0+0+0=0 101∙000=1∙0+0∙0+1∙0=0+0+0=0 110∙000=1∙0+1∙0+0∙0=0+0+0=0 011∙000=0∙0+1∙0+1∙0=0+0+0=0 000∙010=0∙0+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙010=1∙0+0∙1+1∙0=0+0+0=0 110∙010=1∙0+1∙1+0∙0=0+1+0= 1 011∙010=0∙0+1∙1+1∙0=0+1+0= 1 000∙001=0∙0+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙001=1∙0+0∙0+1∙1=0+0+1= 1 110∙001=1∙0+1∙0+0∙1=0+0+0=0 011∙001=0∙0+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙100=0∙1+0∙0+0∙0=0+0+0=0 101∙100=1∙1+0∙0+1∙0=1+0+0= 1 110∙100=1∙1+1∙0+0∙0=1+0+0= 1 011∙100=0∙1+1∙0+1∙0=0+0+0=0

9 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000,101,110,011 000∙000=0∙0+0∙0+0∙0=0+0+0=0 101∙000=1∙0+0∙0+1∙0=0+0+0=0 110∙000=1∙0+1∙0+0∙0=0+0+0=0 011∙000=0∙0+1∙0+1∙0=0+0+0=0 000∙010=0∙0+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙010=1∙0+0∙1+1∙0=0+0+0=0 110∙010=1∙0+1∙1+0∙0=0+1+0= 1 011∙010=0∙0+1∙1+1∙0=0+1+0= 1 000∙001=0∙0+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙001=1∙0+0∙0+1∙1=0+0+1= 1 110∙001=1∙0+1∙0+0∙1=0+0+0=0 011∙001=0∙0+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙100=0∙1+0∙0+0∙0=0+0+0=0 101∙100=1∙1+0∙0+1∙0=1+0+0= 1 110∙100=1∙1+1∙0+0∙0=1+0+0= 1 011∙100=0∙1+1∙0+1∙0=0+0+0=0

10 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000,101,110,011 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙011=1∙0+0∙1+1∙1=0+0+1= 1 110∙011=1∙0+1∙1+0∙1=0+1+0= 1 011∙011=0∙0+1∙1+1∙1=0+1+1=0 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙110=1∙1+0∙1+1∙0=1+0+0= 1 110∙110=1∙1+1∙1+0∙0=1+1+0=0 011∙110=0∙1+1∙1+1∙0=0+1+0= 1 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙101=1∙1+0∙0+1∙1=1+0+1=0 110∙101=1∙1+1∙0+0∙1=1+0+0= 1 011∙101=0∙1+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙111=1∙1+0∙1+1∙1=1+0+1=0 110∙111=1∙1+1∙1+0∙1=1+1+0=0 011∙111=0∙1+1∙1+1∙1=0+1+1=0

11 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000,101,110,011 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙011=1∙0+0∙1+1∙1=0+0+1= 1 110∙011=1∙0+1∙1+0∙1=0+1+0= 1 011∙011=0∙0+1∙1+1∙1=0+1+1=0 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙110=1∙1+0∙1+1∙0=1+0+0= 1 110∙110=1∙1+1∙1+0∙0=1+1+0=0 011∙110=0∙1+1∙1+1∙0=0+1+0= 1 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙101=1∙1+0∙0+1∙1=1+0+1=0 110∙101=1∙1+1∙0+0∙1=1+0+0= 1 011∙101=0∙1+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙111=1∙1+0∙1+1∙1=1+0+1=0 110∙111=1∙1+1∙1+0∙1=1+1+0=0 011∙111=0∙1+1∙1+1∙1=0+1+1=0

12 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000,101,110,011 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙011=1∙0+0∙1+1∙1=0+0+1= 1 110∙011=1∙0+1∙1+0∙1=0+1+0= 1 011∙011=0∙0+1∙1+1∙1=0+1+1=0 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙110=1∙1+0∙1+1∙0=1+0+0= 1 110∙110=1∙1+1∙1+0∙0=1+1+0=0 011∙110=0∙1+1∙1+1∙0=0+1+0= 1 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙101=1∙1+0∙0+1∙1=1+0+1=0 110∙101=1∙1+1∙0+0∙1=1+0+0= 1 011∙101=0∙1+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙111=1∙1+0∙1+1∙1=1+0+1=0 110∙111=1∙1+1∙1+0∙1=1+1+0=0 011∙111=0∙1+1∙1+1∙1=0+1+1=0 𝐶 ⊥ = 000,111

13 Užduotis - Rasti kodo C dualų kodą 𝐶 ⊥
C [2,1] yra tiesinis kodas virš kūno 𝔽 2 . C ={10,01} 𝔽 2 2 ={?}.

14 Užduotis - Rasti kodo C dualų kodą 𝐶 ⊥
C [2,1] yra tiesinis kodas virš kūno 𝔽 2 . C ={10,01} 𝔽 2 2 ={00,01,10,11} 𝐶 ⊥ = {?}

15 Užduotis - Rasti kodo C dualų kodą 𝐶 ⊥
C [2,1] yra tiesinis kodas virš kūno 𝔽 2 . C ={10,01} 𝔽 2 2 ={00,01,10,11}. 10∙00=1∙0+0∙0=0+0=0 01∙00=0∙0+1∙0=0+0=0 10∙10=1∙1+0∙0=1+0=1 01∙10=0∙1+1∙0=0+0=0 10∙01=1∙0+0∙1=0+0=0 01∙01=0∙0+1∙1=0+1=1 10∙11=1∙1+0∙1=1+0=1 01∙11=0∙1+1∙1=0+1=1 𝐶 ⊥ = ?

16 Užduotis - Rasti kodo C dualų kodą 𝐶 ⊥
C [2,1] yra tiesinis kodas virš kūno 𝔽 2 . C ={10,01} 𝔽 2 2 ={00,01,10,11}. 10∙00=1∙0+0∙0=0+0=0 01∙00=0∙0+1∙0=0+0=0 10∙10=1∙1+0∙0=1+0=1 01∙10=0∙1+1∙0=0+0=0 10∙01=1∙0+0∙1=0+0=0 01∙01=0∙0+1∙1=0+1=1 10∙11=1∙1+0∙1=1+0=1 01∙11=0∙1+1∙1=0+1=1 𝐶 ⊥ = 00

17 Dualus kodas Pastabos:
Ortogonalumo sąvoka erdvėse virš baigtinių kūnų skiriasi nuo ortogonalumo sąvokos virš realiųjų skaičių kūno. Pavyzdžiui, erdvėje ℝ 𝒏 , tik nulinis vektorius yra ortogonalus pats sau, todėl bet kurios ℝ 𝑛 erdvės ir jos ortogonalios erdvės sankirta visada yra {0} (pavyzdžiui, plokštumos ir jai statmenos tiesės).

18 Dualus kodas Pastabos:
Erdvėse virš baigtinių kūnų ši savybė nebegalioja. Pavyzdžiui, vektorius 𝑥=(1,1,0,…,0)∈ 𝔽 2 𝑛 yra ortogonalus pats sau, nes 𝑥∙𝑥=1+1=0, todėl gali būti, kad 𝑥∈𝐶 𝑖𝑟 𝑥 ∈ 𝐶 ⊥ . Gali netgi būti, kad visi kodo C vektoriai yra ortogonalūs visiems kodo vektoriams, todėl C ⊆ 𝐶 ⊥ .

19 Teorema Tiesinio kodo C [n, k] dualus kodas yra tiesinis [n, n − k] kodas. Be įrodymo. Pavyzdys: 𝐶= 000,101,110,011 𝐶 ⊥ = 000,111 Šio kodo C generuojanti matrica 𝑮= 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 yra C[3,2]

20 Teorema Tada pagal apibrėžimą - 𝑪 ⊥ = 𝟑, 𝟑−𝟐 = 𝟑, 𝟏
Kodo C dualaus kodo 𝐶 ⊥ bazė yra (nes nulinis vektorius niekada nepriklauso bazei). 0∙111=000 1∙111=111 Šio kodo generuojanti matrica yra 𝑮 ⊥ = 𝟏𝟏𝟏 , kurią užrašyti kaip 𝐶 ⊥ [3,1] (nes kodo ilgis 3, o dimensija (eilučių skaičius) – 1).

21 Teiginys Bet kuriam tiesiniam kodui C turime, kad 𝑪 ⊥ ⊥ =𝑪.

22 Įrodymas Visų pirma parodysime, kad 𝐶 ⊆ 𝐶 ⊥ ⊥ . Tarkime, 𝑥∈𝐶.
Bet kuris kodo C žodis yra ortogonalus bet kuriam kodo 𝐶 ⊥ žodžiui (iš apibrėžimo), todėl 𝑥∙𝑦=0 ∀𝑦∈ 𝐶 ⊥ . Tai reiškia, kad 𝑥∈ 𝐶 ⊥ ⊥ . Todėl 𝐶 ⊆ 𝐶 ⊥ ⊥ .

23 Įrodymas Iš kitos pusės, ką tik matėme, kad jei C yra [n, k] kodas, tai 𝐶 ⊥ yra tiesinis [n, n − k] kodas. Analogiškai gauname, kad 𝐶 ⊥ ⊥ yra [n, n − (n − k)] = [n, n – n + k ] = [n, k] kodas. Taigi, 𝐶 ⊆ 𝐶 ⊥ ⊥ ir dim C = dim 𝐶 ⊥ ⊥ , todėl C = 𝐶 ⊥ ⊥ =𝐶.

24 Išvados Įrodėme, kad jei 𝐶 ⊥ = D, tai 𝐷 ⊥ = C.
Todėl visus tiesinius kodus galima suskirstyti į poras, kur kiekvienoje poroje kodai yra vienas kitam dualūs.

25 Pavyzdys - 𝐶 ⊥ ⊥ =𝐶 Bandome iš dualaus kodo 𝐶 ⊥ = {000, 111} gauti kodą C = {000, 110, 101, 011} pasinaudoję ką tik įrodyta teorema.

26 Pavyzdys - 𝐶 ⊥ ⊥ =𝐶 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000, 111 000∙000=0∙0+0∙0+0∙0=0+0+0=0 111∙000=1∙0+1∙0+1∙0=0+0+0=0 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 111∙011=1∙0+1∙1+1∙1=0+1+1= 0 000∙001=0∙0+0∙0+0∙1=0+0+0=0 111∙001=1∙0+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 111∙101=1∙1+1∙0+1∙1=1+0+1=0 000∙010=0∙0+0∙1+0∙0=0+0+0=0 111∙010=1∙0+1∙1+1∙0=0+1+0=1 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 111∙110=1∙1+1∙1+1∙0=1+1+0= 0 000∙100=0∙1+0∙0+0∙0=0+0+0=0 111∙100=1∙1+1∙0+1∙0=1+0+0= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 111∙111=1∙1+1∙1+1∙1=1+1+1= 1

27 Pavyzdys - 𝐶 ⊥ ⊥ =𝐶 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000, 111 000∙000=0∙0+0∙0+0∙0=0+0+0=0 111∙000=1∙0+1∙0+1∙0=0+0+0=0 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 111∙011=1∙0+1∙1+1∙1=0+1+1= 0 000∙001=0∙0+0∙0+0∙1=0+0+0=0 111∙001=1∙0+1∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 111∙101=1∙1+1∙0+1∙1=1+0+1=0 000∙010=0∙0+0∙1+0∙0=0+0+0=0 111∙010=1∙0+1∙1+1∙0=0+1+0=1 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 111∙110=1∙1+1∙1+1∙0=1+1+0= 0 000∙100=0∙1+0∙0+0∙0=0+0+0=0 111∙100=1∙1+1∙0+1∙0=1+0+0= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 111∙111=1∙1+1∙1+1∙1=1+1+1= 1 𝐶 ⊥ = 000,101,110,011

28 Ekvivalenčių kodų dualūs kodai
Ekvivalenčių kodų dualūs kodai taip pat ekvivalentūs. Taip pat – jie ekvivalentūs su ta pačia perstata. Tiksliau, galioja toks teiginys. Teiginys: Jei C ir C ‘ yra ekvivalentūs kodai, ir σ yra tokia perstata, kad C ‘ = σ(C ), tai 𝐶′ ⊥ =σ( 𝐶 ⊥ ).

29 Įrodymas 𝑥 ∈ 𝐶 ′⊥ ↔𝑥∙𝑦=0 ∀𝑦∈ 𝐶 ′ =𝜎 𝐶 ↔𝑥∙𝜎 𝑐 =0 ∀𝑐∈𝐶 ↔ 𝜎 −1 𝑥 ∙𝑐=0 ∀𝑐∈𝐶 ↔ 𝜎 −1 𝑥 ∈ 𝐶 ⊥ ↔𝑥∈𝜎 𝐶 ⊥

30 𝑥 ∈ 𝐶 ′⊥ ↔𝑥∙𝑦=0 ∀𝑦∈ 𝐶 ′ =𝜎 𝐶 ↔𝑥∙𝜎 𝑐 =0 ∀𝑐∈𝐶
Įrodymas Eilutės yra ekvivalenčios, nes jei y∈σ(C), tai egzistuoja toks c∈C, Kad y=σ(c), ir c perbėga C tada ir tik tada, kai y=σ(c) perbėga σ(C) 𝑥 ∈ 𝐶 ′⊥ ↔𝑥∙𝑦=0 ∀𝑦∈ 𝐶 ′ =𝜎 𝐶 ↔𝑥∙𝜎 𝑐 =0 ∀𝑐∈𝐶

31 ↔𝑥∙𝜎 𝑐 =0 ∀𝑐∈𝐶 ↔ 𝜎 −1 𝑥 ∙𝑐=0 ∀𝑐∈𝐶 ↔ 𝜎 −1 𝑥 ∈ 𝐶 ⊥ ↔𝑥∈𝜎 𝐶 ⊥
Įrodymas Eilutės yra ekvivalenčios, nes skaliarinė sandauga nepasikeičia, jei abiejų vektorių koordinates perstatome, naudodami tą pačią perstatą. Šiuo atveju naudojome perstatą σ −1 ir pasinaudojome tuo, kad σ−1(σ(c)) = c. ↔𝑥∙𝜎 𝑐 =0 ∀𝑐∈𝐶 ↔ 𝜎 −1 𝑥 ∙𝑐=0 ∀𝑐∈𝐶 ↔ 𝜎 −1 𝑥 ∈ 𝐶 ⊥ ↔𝑥∈𝜎 𝐶 ⊥

32 Pavyzdys Tarkime, turime kodą, jo ekvivalentų kodą ir perstatą.
C={000, 101} 𝜎 𝐶 ={000, 110} 𝜎= ( )

33 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝐶= 000,101 000∙000=0∙0+0∙0+0∙0=0+0+0=0 101∙000=1∙0+0∙0+1∙0=0+0+0=0 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙011=1∙0+0∙1+1∙1=0+0+1= 1 000∙001=0∙0+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙001=1∙0+0∙0+1∙1=0+0+1= 1 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 101∙101=1∙1+0∙0+1∙1=1+0+1=0 000∙010=0∙0+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙010=1∙0+0∙1+1∙0=0+0+0=0 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 101∙110=1∙1+0∙1+1∙0=1+0+0= 1 000∙100=0∙1+0∙0+0∙0=0+0+0=0 101∙100=1∙1+0∙0+1∙0=1+0+0= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 101∙111=1∙1+0∙1+1∙1=1+0+1=0

34 Pavyzdys 𝔽 2 3 ={000,001,010,100,011,101,110,111} 𝜎 𝐶 ={000, 110} 000∙000=0∙0+0∙0+0∙0=0+0+0=0 110∙000=1∙0+1∙0+0∙0=0+0+0=0 000∙011=0∙0+0∙1+0∙1=0+0+0=0 110∙011=1∙0+1∙1+0∙1=0+1+0= 1 000∙001=0∙0+0∙0+0∙1=0+0+0=0 110∙001=1∙0+1∙0+0∙1=0+0+0=0 000∙101=0∙1+0∙0+0∙1=0+0+0=0 110∙101=1∙1+1∙0+0∙1=1+0+0=1 000∙010=0∙0+0∙1+0∙0=0+0+0=0 110∙010=1∙0+1∙1+1∙0=0+1+0=1 000∙110=0∙1+0∙1+0∙0=0+0+0=0 110∙110=1∙1+1∙1+0∙0=1+1+0= 0 000∙100=0∙1+0∙0+0∙0=0+0+0=0 110∙100=1∙1+1∙0+0∙0=1+0+0= 1 000∙111=0∙1+0∙1+0∙1=0+0+0=0 110∙111=1∙1+1∙1+0∙1=1+1+0=0

35 Pavyzdys Randame, jog 𝐶 ⊥ = {000, 010, 111, 101} 𝜎( 𝐶) ⊥ = {000, 001, 111, 110} (kodų žodžiai išdėstyti atitinkamai vienas po kitu pagal perstatą), teorema pavaizduota.


Atsisiųsti ppt "Dualus kodas [Ske16, 2.4.1-2.4.2, 52-54 p.]."

Panašios pateiktys


Google reklama