Briauninis grafas.

Briauninis grafas

Briauninis grafas Grafo 𝐺=(𝑉,𝐵) briauniniu grafu vadinamas grafas 𝐺 𝐵 =( 𝑉 𝑏 , 𝐵 𝑏 ), kurio viršūnių aibė turi tiek elementų, kiek briaunų turi grafas 𝐺, ir jo viršūnės yra gretimos, jei atitinkamo grafo 𝐺 briaunos buvo gretimos. Briauninis grafas turi 1 2 𝑖=1 𝑛 𝑝 2 𝑣 𝑖 −𝑚 briaunų, kur 𝑚 – grafo 𝐺 briaunų skaičius

Briauninis grafas. Pavyzdžiai.
Grafo 𝐺=(𝑉,𝐵) briauniniu grafu vadinamas grafas 𝐺 𝐵 =( 𝑉 𝑏 , 𝐵 𝑏 ), kurio viršūnių aibė turi tiek elementų, kiek briaunų turi grafas 𝐺, ir jo viršūnės yra gretimos, jei atitinkamo grafo 𝐺 briaunos buvo gretimos. Briauninis grafas turi 1 2 𝑖=1 𝑛 𝑝 2 𝑣 𝑖 −𝑚 briaunų, kur 𝑚 – grafo 𝐺 briaunų skaičius. Briauninis grafas. Pavyzdžiai. grafas 𝐺 grafas 𝐺 𝑏 (∅,∅) a grafas 𝐺 grafas 𝐺 𝑏 1 1 a b grafas 𝐺 grafas 𝐺 𝑏 1 a b c 1 3 2 3 2

Sudarykime šio grafo briauninį grafą Sunumeruojame briaunas
c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Viso briaunų yra 9. Atidedame 9 viršūnes

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Imkime briauną 1. Jos kaimynės: 2,3,5

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Imkime briauną 2. Jos kaimynės: 1,3,4.

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Imkime briauną 3. Jos kaimynės: 1, 2, 4, 5

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Imkime briauną 4. Jos kaimynės: 2, 3, 5, 6, 7

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Imkime briauną 6. Jos kaimynės: 4, 5, 7, 9

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Imkime briauną 8. Jos kaimynės: 7, 9

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g Pradinis grafas turėjo 9 briaunas, t.y. m = 9. Patikrinsime, ar teisinga formulė 3 1 2 9 8 4 5 6 7 1 2 𝑖=1 𝑛 𝑝 2 𝑣 𝑖 −𝑚

c d e f g 1 2 3 5 4 7 8 9 6 a b c d e f g 1 2 𝑖=1 𝑛 𝑝 2 𝑣 𝑖 −𝑚 3 1 2 9 8 4 5 6 7 Įstatome pradinio grafo viršūnių laipsnius į formulę: −9=17 Skaičiuojame briauninio grafo briaunų skaičių: =17

c b d a G 1 2 3 4 Raskite grafo G briauninį grafą A B 1 2 4 3 C D C A B D

Grafo 𝐺=( 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 , 𝐵) briaunų skaičius lygus keturiems, o viršūnių laipsnių seka yra 2, 2, 2, 2. Šio grafo briauninis grafas yra pavaizduotas žemiau. Raskite jį. A B 1 2 4 3 C D C A B D

Pavaizduotas dešinėje grafas yra grafo 𝐺= 𝑉,𝐵 briauninis grafas.
Grafo 𝐺 viršūnių aibė ir sunumeruotas briaunų sąrašas yra: 1 2 4 3 𝑉= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 , 𝑎,𝑏 −1, 𝑎,𝑑 −2, 𝑏,𝑐 −3, 𝑐,𝑑 −4. 𝑉= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 , 𝑎,𝑒 −1, 𝑏,𝑒 −2, 𝑐,𝑒 −3, 𝑑,𝑒 −4. 𝑉= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 , 𝑎,𝑏 −1, 𝑎,𝑐 −2, 𝑐,𝑒 −3, 𝑑,𝑒 −4. 𝑉= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 , 𝑎,𝑏 −1, 𝑎,𝑐 −2, 𝑎,𝑑 −3, 𝑐,𝑑 −4. A B C D

Stabilieji viršūnių poaibiai

Pavyzdys Aštuonių valdovių uždavinys: Šachmatų lentoje reikia išdėstyti kuo daugiau valdovių taip, kad jos nekirstų viena kitos. Valdovė kerta figūras, esančias vertikaliai, horizontaliai ir diagonaliai.

{a, d} – iš vidaus stabilus poaibis.
Stabilieji poaibiai Grafo 𝐺=(𝑉,𝐵) viršūnių aibės poaibis 𝑆⊂𝑉 vadinamas stabiliuoju iš vidaus, jei bet kurios dvi jo viršūnės nėra gretimos grafo viršūnės. Pavyzdžiui, {a, d} – iš vidaus stabilus poaibis. a b c d e f g

Vidinio stabilumo skaičius: 3
Vidinio stabilumo skaičius – maksimalus iš vidaus stabilaus poaibio dydis Vidinio stabilumo skaičius: 3 a b c d e f g a b c d e f g Vidinio stabilumo skaičiui galioja nelygybė 𝛼 𝐺 ≥ 𝑖=1 𝑛 1 1+𝑝( 𝑣 𝑖 )

a b c d e f g Vidinio stabilumo skaičius: 3;

Vidinio stabilumo skaičius: 4
1 2 3 4 5 6 7 8 𝛼 𝐺 ≥ = = ≈2.583 Vidinio stabilumo skaičius: 4

Ar raudonai pažymėtas viršūnių poaibis yra iš vidaus stabilus?
c b d a c b d a e taip c b d a e ne taip

Kurio grafo vidinio stabilumo skaičius lygus 2?
c b d a c b d a e c b d a e

Grįžkime prie valdovių uždavinio Pradėsime nuo 3x3 dydžio lentos.
Kiek valdovių galime išdėstyti šioje lentoje? 6 Patalpinkime valdovę kampiniame langelyje: Matome, kad vienoje iš šių pozicijų patalpinta valdovė kirs 6 langelius

Patalpinkime valdovę prie kraštinės
6 6 Matome, kad vienoje iš šių pozicijų patalpinta valdovė kirs 6 langelius. Papildome lentelę

Patalpinkime valdovę centre
6 8 6 Matome, kad šioje pozicijoje patalpinta valdovė kirs 8 langelius. Papildome lentelę. Pasinaudokime formule 𝛼 𝐺 ≥ 𝑖=1 𝑛 1 1+𝑝( 𝑣 𝑖 )

Bandykime patalpinti dvi valdoves
𝛼 𝐺 ≥ 𝑖=1 𝑛 1 1+𝑝( 𝑣 𝑖 ) 6 8 𝛼 𝐺 ≥ , 𝛼 𝐺 ≥ Bandykime patalpinti dvi valdoves Kiek bokštų galima patalpinti šioje lentoje?

Kiek valdovių galime išdėstyti šioje lentoje?
Imkime 4x4 dydžio lentą. Kiek valdovių galime išdėstyti šioje lentoje? 9 Patalpinkime valdovę kampiniame langelyje: Matome, kad vienoje iš šių pozicijų patalpinta valdovė kirs 9 langelius

Patalpinkime valdovę prie krašto arba centre:
9 9 11 Matome, kad pirmu atveju valdovė kirs 9 langelius, o antru Pildome lentelę.

𝛼 𝐺 ≥ 𝑖=1 𝑛 1 1+𝑝( 𝑣 𝑖 ) 9 11 𝛼 𝐺 ≥12⋅ ⋅ 1 12 =1 8 15 Matome, kad dvi valdoves tikrai patalpinsime. Pabandykime patalpinti daugiau:

Aštuonių valdovių uždavinys:
Pabandykite atsakyti į šiuos klausimus Koks būtų apatinis vidinio stabilumo įvertis, jei valdovių uždavinį spręstume didesnėje lentoje? Kiek valdovių iš tikrųjų pavyktų patalpinti? Kas pasikeistų, jei vietoje valdovių talpintume bokštus, žirgus ar kitas figūras?

Raskime grafo 𝐺 papildinį
c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Raskime kokį nors papildinio pografį, kuris būtų pilnasis grafas

c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Sužymėkime raudonai pažymėtas papildinio viršūnes grafe 𝐺

c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Ar sužymėtos grafo 𝐺 viršūnės sudaro iš vidaus stabilią aibę?

c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Raskime maksimalų papildinio pografį, kuris būtų pilnasis grafas

c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Sužymėkime raudonai pažymėtas papildinio viršūnes grafe 𝐺

c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Ar sužymėtos grafo 𝐺 viršūnės sudaro iš vidaus stabilią aibę?

c b d a e 𝐺 c b d a e 𝐺 Ar galime rasti didesnę grafo 𝐺 viršūnių aibę, kuri būtų iš vidaus stabili?

Tarkime papildinyje yra du vienodo dydžio pilnieji pografiai.
c b d a e 𝐺 f c b d a e 𝐺 f Pografiai sudaro dvi jungiąsias komponentes

c b d a e 𝐺 f c b d a e 𝐺 f Pografiai turi bendrą viršūnę

c b d a e 𝐺 f c b d a e 𝐺 f Pografiai turi bendrą briauną

Viena briauna yra klika. Pavyzdžiui,
Klika (cluque) neorientuotame grafe 𝑮= 𝑽,𝑩 – viršūnių aibės poaibis 𝑆⊂𝑉, kurio bet kurios dvi viršūnės yra gretimos grafo viršūnės. a b c d e f g Viena briauna yra klika. Pavyzdžiui, a b c d e f g Šiame grafe yra ir didesnių klikų

Klikoje yra tik viršūnės!
Klika (cluque) neorientuotame grafe 𝑮= 𝑽,𝑩 – viršūnių aibės poaibis 𝑆⊂𝑉, kurio bet kurios dvi viršūnės yra gretimos grafo viršūnės. a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g Klikoje yra tik viršūnės!

Bron–Kerbosch algoritmas.
d a e 𝐺 Naudosime tris aibes: Klika (KL)– aibė, kurioje saugosime atitinkamo žingsnio maksimalią kliką; Kandidatai (K) – viršūnės, kurias galime naudoti aibei Klika didinti; Neimamos (N) – viršūnės, kurias jau naudojome aibei Klika didinti. Pradiniu laiko momentu: Klika – tuščia aibė; Kandidatai – visos viršūnės; Neimamos – tuščia aibė

d a e 𝐺 Bron–Kerbosch algoritmas. BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀ 𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } Žymėsime: Mėlyna – išrinktos viršūnės; Žalia – išrinktų viršūnių bendros kaimynės; Juoda – šiuo metu nenagrinėjamos viršūnės; Raudona –neimamos viršūnės;

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁=∅ BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑎 𝐵𝐾( 𝑎 , 𝑏,𝑑,𝑒 ,∅} 𝐾𝑙={𝑎,𝑏}; 𝐾= 𝑒 ; 𝑁=∅ c b d a e c b d a e Radome {𝑎,𝑏,𝑒}

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁=∅ BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑎 𝐵𝐾( 𝑎 , 𝑏,𝑑,𝑒 ,∅} 𝐾𝑙={𝑎,𝑑}; 𝐾=∅; 𝑁=∅ c b d a e Radome {𝑎,𝑑}

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁=∅ BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑎 𝐵𝐾( 𝑎 , 𝑏,𝑑,𝑒 ,∅} 𝐾𝑙={𝑎,𝑒}; 𝐾= 𝑏 ; 𝑁=∅ c b d a e c b d a e Radome {𝑎,𝑏,𝑒}

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁={𝑎} BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑏 𝐵𝐾( 𝑏 , 𝑐,𝑒 ,{𝑎}} 𝐾𝑙={𝑏,𝑐}; 𝐾=∅; 𝑁={𝑎} c b d a e Radome {𝑏,𝑐}

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁={𝑎} BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑏 𝐵𝐾( 𝑎 , 𝑐,𝑒 ,{𝑎}} 𝐾𝑙={𝑏,𝑒}; 𝐾=∅; 𝑁={𝑎} c b d a e Vėl radome {𝑎,𝑏,𝑒} Dabar 𝑏 taps raudona

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁={𝑎} BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑐 𝐵𝐾( 𝑐 , {𝑏},{𝑎,𝑏}} 𝐾𝑙={𝑏,𝑐}; 𝐾=∅; 𝑁={𝑎,𝑏} c b d a e Radome {𝑏,𝑐} Dabar 𝑐 taps raudona

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁={𝑎} BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑒 𝐵𝐾( 𝑒 , {𝑎,𝑏},{𝑎,𝑏,𝑐}} Visos viršūnės 𝑒 kaimynės raudonos, neturime ką rinktis, taigi ji tampa raudona

𝐾𝑙=∅; 𝐾= 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒, ; 𝑁={𝑎} BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e 𝑣=𝑑 𝐵𝐾( 𝑑 , {𝑎},{𝑎,𝑏,𝑐,𝑒}} Visos viršūnės 𝑑 kaimynės raudonos, neturime ką rinktis, taigi ji tampa raudona

BK (Kl, K, N) { if 𝐾=∅ ir 𝑁=∅ 𝑀𝑎 𝑥 𝑘𝑙𝑖𝑘𝑎 ≔𝐾𝑙; else ∀𝑣∈𝐾 BK(𝐾𝑙 ∪ 𝑣 , 𝐾 ∩Γ 𝑣 , 𝑁∩Γ 𝑣 ); 𝐾≔𝐾 − 𝑣 ; 𝑁≔𝑁 ∪ 𝑣 ; } c b d a e Radome klikas: {𝑎,𝑏,𝑒} {𝑐,𝑏} {𝑎,𝑑} Didžiausia:

Pavyzdys Penkių valdovių uždavinys: šachmatų lentoje reikia išdėstyti kuo mažiau valdovių taip, kad jos kirstų visus šachmatų lentos langelius.

{c, b, f} – iš išorės stabilus poaibis.
Stabilieji poaibiai Grafo 𝐺=(𝑉,𝐵) viršūnių aibės poaibis 𝑆⊂𝑉 vadinamas stabiliuoju iš išorės, jei bet kuri nepriklausanti šiam poaibiui grafo viršūnė yra gretima kuriai nors poaibio viršūnei Pavyzdžiui, {c, b, f} – iš išorės stabilus poaibis. a b c d e f g

Išorinio stabilumo skaičius: 2.
Išorinio stabilumo skaičius – minimalus iš išorės stabilaus poaibio dydis a b c d e f g Išorinio stabilumo skaičius: 2. a b c d e f g Pastebėkime, kad ne visada apsimoka imti didžiausio laipsnio viršūnę.

Ar raudonai pažymėtas viršūnių poaibis yra iš išorės stabilus?
c b d a c b d a e taip c b d a e ne taip

Kurio grafo išorinio stabilumo skaičius lygus 2?

Kurio grafo vidinio stabilumo skaičius lygus 2?

Testo užduočių pavyzdžiai

Grafas 𝐺 su viršūnėmis 1,2, …,6 apibrėžtas savo briaunomis:
𝑝= 1,2 , 𝑓= 1,3 , 𝑖= 1,4 , 𝑒= 1,5 , 𝑚= 1,6 , 𝑧= 3,4 , 𝑣= 3,6 , 𝑠= 5,6 . Grafo 𝐺 briauninis grafas 𝐺 𝑏 pavaizduotas paveiksle

Kiek nepriklausomų ciklų turi grafo 𝐾 200 briauninis grafas?

Kuris teiginys yra teisingas?
Viršūnių aibė 𝑆={𝑙,𝑝,𝑜} yra iš vidaus stabili. (B) Aibė 𝑆 yra iš išorės stabili. Kam lygus grafo vidinio stabilumo skaičius? Kam lygus grafo išorinio stabilumo skaičius? Kurios aibės yra šio grafo klikos? 𝐴= 𝑙,𝑝 , 𝐵= 𝑢,𝑜 , 𝐶={𝑜,𝑠,𝑝} Didžiausios šio grafo klikos viršūnių skaičius lygus __

Grafas 𝐺 apibrėžtas viršūnių gretimumo aibėmis:
Γ(𝑎)= 𝑟,𝑠,𝑔 , Γ(𝑟)= 𝑎 , Γ(𝑠)= 𝑎,𝑔 , Γ(𝑥)= 𝑔 , Γ(𝑔)= 𝑎,𝑤,𝑥,𝑠,𝑐 , Γ(𝑤)= 𝑔,𝑐 , Γ 𝑐 = 𝑤,𝑔 . Grafo 𝐺 briauninis grafas 𝐺 𝑏 pavaizduotas paveiksle Ilgiausio kelio ilgis lygus _____ 2. Kuris teiginys yra teisingas? Grafo 𝐺 vidinio stabilumo skaičius lygus keturiems; Grafo skersmuo lygus keturiems. 3. Grafo skersmuo lygus _____ 4. Kuris teiginys yra teisingas? Grafo 𝐺 briaunų aibė 𝑔,𝑠 , {𝑎,𝑔} yra kirpis; Grafas 𝐺 turi du sujungimo taškus. 3. Grafo 𝐺 blokų skaičius lygus _____

Briauninis grafas.

Panašios pateiktys

Pateikčių temos: "Briauninis grafas."— Pateikties kopija:

Panašios pateiktys

Apie projektą

Grįžtamasis ryšys

Prisijungti

Prisijungti per socialinį tinklą:

Briauninis grafas.

Panašios pateiktys

Pateikčių temos: "Briauninis grafas."— Pateikties kopija:

Panašios pateiktys

Apie projektą

Grįžtamasis ryšys