Tema 3 Pinigų laiko vertė

Pateikčių temos: "Tema 3 Pinigų laiko vertė"— Pateikties kopija:

1 Tema 3 Pinigų laiko vertė
Temos struktūra 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas 3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija

2 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas
Būsimoji vertė yra investicijų arba pinigų vertė tam tikru ateities momentu. Pvz.1. Tarkime jūs investuojate €100 į taupomąją sąskaitą, kuri moka 10% palūkanų per metus. Kiek jūs turėsite po metų? €110 Lt x10%=110 arba 100x1,1=110, kur 1,1=1+0,1 t.y. (1+r) , kur r – palūkanų norma

3 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas
Pvz. 2 Jeigu banke €110 palikote sekantiems metams. Kiek turėsite po dvejų metų? 121 = 110 x 1,1 Šie €121 turi keturias dalis: €100 — pagrindinė suma, kuriai priskaičiuojamos palūkanos €10 — 10% palūkanų norma, kurią gavome pirmais metais €10 —10% palūkanų norma, kurią gavome antrais metais €1 — palūkanos, kurias gavome antrais metais už pirmų metų palūkanas.

4 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas
Sudėtinės palūkanos reiškia, kad priskaičiuojamos palūkanos nuo palūkanų. Paprastosios palūkanos nereinvestuojamos, todėl palūkanos yra skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos.

5 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas
Pvz. 2. Panagrinėkime €121 būsimąją vertę. 121 = 110 x 1,1= 100 x 1,1 x 1,1 = = 100 x 1,12 Jeigu €121 mes investuotume vėl dar vieniems metams, turėtume: 133,1 = 121 x 1,1 = 100x1.1x1.1x1.1= 100 x 1,13 Būsimoji vertė = €100 x (1+r)t, r – palūkanų norma t – investavimo periodų skaičius

6 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas
Būsimoji vertė (FV) = €100 x (1+r)t (1+r)t - būsimosios vertės palūkanų normos koeficientas Pvz. Kiek turėtume po 5 metų, jei investuotume €100? FV =100x(1+0,1)5 =100 x 1,6105 = €161,05 1,1 yx 5 = 1,6105

7 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas
Būsimoji vertė (FV) = 100 x (1+r)t

8 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas

9 3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas
Pvz.3. Kiek turime investuoti šiandien esant 10 % palūkanomis, kad po vienerių metų gautume €100? FV = PV x (1+r)t Tai, €100 = PV x (1+0,1)1 €100 Dabartinė vertė = —— = €90,909 Lt. 1,1

10 3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas
Pvz.4. Tarkime, po dvejų metų norime turėti € Jeigu, jūs galite uždirbti 7% palūkanų, kiek reikia šiandien investuoti? €1.000 = PV x 1,072 PV = €1.000 / 1,1449 = 873,44 1,07 yx /x x = 873,44

11 3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas
Diskontuoti tai reiškia apskaičiuoti būsimosios vertės dabartinę vertę. 1 / (1+r)t — dabartinės vertės koeficientas

12 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
FVt = PV x (1+r)t PV = FVt / (1+r)t Pvz. 5. Bendrovė ketina įsigyti nekilnojamo turto už € Po trejų metų turtą galima bus parduoti už € Mes žinome, kad tuos pačius € galima investuoti kitur ir gauti 10%. Ar verta bendrovei investuoti į nekilnojamą turtą?

13 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
PVZ. 5. (tęsinys) FVt = PV x (1+r)t FV = 335 x 1,13 = 335 x 1,331 = 445,89 Neverta: 445,89 > 400 Iki kiek pardavėjai turėtų sumažinti kainą, kad apsimokėtų investuoti į nekilnojamą turtą ? PV = FVt / (1+r)t PV= 400 / (1+0,1)3 = 400 / 1,331 =300,53

14 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
FVt = PV x (1+r)t PV = FVt / (1+r)t r nustatymas. Pvz.6. Mums siūloma investicija €1.000 vertės, kuri padvigubins investuotus pinigus per 8 metus. Tam, kad palygintume siūlomą investiciją, mums reikia sužinoti, kokia diskonto norma yra numatoma?

15 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
Pvz.6 (tęsinys) FVt = PV x (1+r)t €2.000 = €1.000 x (1+r)8 2 = (1+r)8 ____ 8√ 2 = 1+r arba 2 0,125 =1+r 1, = 1+r r = 9,0508%

16 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
Taisyklė “72” Laikas per kurį padvigubinami pinigai yra apytiksliai lygu 72/r %. t ≈ 72/r% 8 ≈ 72/r% r ≈ 72/8 ≈ 9% Ši taisyklė pakankamai tiksli diskonto normoms esant nuo 5% iki 20 %.

17 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
Periodo t skaičiavimas Pvz.7. Tarkime mes norime įsigyti turto už € Šiuo metu turime € Jei mes galime uždirbti 12% metinių palūkanų investavę šiuos €25.000, tai per kiek laiko turėtume € savo sąskaitoje? t ≈ 72/r% t ≈ 72/12% ≈ 6 metai

18 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę.
Pvz.7. (tęsinys) FVt = PV x (1+r)t € = € x (1+0,12)t (1+0,12)t = 2 log 1,12t = log2 t x log 1,12 = log2 t = log2 / log 1,12 t = 0, / 0, = 6,11625 metai

19 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
x 1, x 1,08 224,64

20 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
x1,08 x1,08 116,64 x1, ,64

21 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
Yra du būsimosios vertės skaičiavimo būdai: Skaičiuojama kiekvieno laikotarpio piniginių įplaukų bendra suma ir ji perkeliama į sekantį laikotarpį Skaičiuojamos kiekvieno pinigų srauto būsimosios vertės ir po to sudedamos

22 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
,20 ,20 2.200 2.420 2.662 2.928,20 12.210,20 x1,1 x1,1 x1,1 x1,1 x1,1 x1,11 x1,12 x1,13 x1,14

23 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
Pvz. Tarkime, jums reikia po metų turėti €1.000, po dviejų metų € Jeigu jūs galite uždirbti 9%, kiek tiksliai turėtumėte atidėti taupymui, kad ateityje turėtumėte reikiamą pinigų sumą? 1 1,091 1 1,092 x x

24 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
2.000 / 1,092 = 1.683, / 1,091 = , ,43 = 2.600,79 Galime patikrinti atsakymą: 2.600,79 x 1,09 = 2.834, ,86 – = 1.834, ,86 x 1,09 = 2.000

25 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
PVZ. Jums yra siūloma investicija, kuri per pirmuosius metus duos €200 pajamų, antruosius metus €400, trečiuosius €600, ketvirtųjų pabaigoje €800. Labai panaši investicija uždirba 12%. Kokią didžiausią pinigų sumą turėtumėte mokėti renkantis šią investiciją?

26 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė.
x 1/1,121 = 200/1,1200 = 178, x 1/1,122 = 400/1,2544 = 318, x 1/1,123 = 600/1,4049 = 427, x 1/1,124 = 800/1,5735 = 508,41 Dabartinė grynoji vertė = 1.432,93

27 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Paprastasis anuitetas – serija pastovių ir vienodų pinigų srautų atsirandančių fiksuoto skaičiaus laikotarpių pabaigoje. PVZ. Tarkime mes nagrinėjame projektą, kuris žada, kad kiekvienų sekančių trijų metų pabaigoje bus mokama po €500. Jei norime uždirbti 10%. Kiek yra vertas šis anuiteto formos pinigų srautas?

28 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
PV = (500/1,11)+(500/1,12)+(500/1,13) = = 454, , ,66 = €1.243,43

29 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Dabartinė anuiteto vertė priklauso nuo įmokų dydžio C; periodų skaičiaus t, kai palūkanų norma arba investicinė grąža yra duota r : AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r = = 500x{1 -[1/(1+0,1)3]}/0,1 = 500x[1–(1/1,331)]/0,1= = 500 x (1-0,75131)/0,1 = 500 x 2,48685 = 1.243,43

30 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Jūs žinote, kad galite mokėti 632 Lt per mėnesį ketindami įsigyti naują automobilį. Paskambinę į banką sužinote, kad palūkanų norma yra 1% per mėnesį 48 mėnesiams. Kiek jūs galite pasiskolinti? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r = = 632 x {1- [1/(1+0,01)48]}/0,01 = = 632 x [ 1-(1/1,61223)]/0,01 = = 632x(1-0,6203)/0,01 = 632x37,9740 = =

31 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Įmokų apskaičiavimas. Tarkime jūs ketinate pradėti naują verslą ir jums reikia pasiskolinti lt. Jūs planuojate grąžinti paskolą per 5 metus, kasmet mokėdamas vienodą sumą. Jei metinė palūkanų norma yra 8%, kokio dydžio turi būti mokėjimai? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r = C x {1- [1/(1+0,08)5]}/0,08 = C x (1-0,6806)/0,08 = C x 3,9925 C = / 3,9925 =

32 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Mokėjimų skaičiaus apskaičiavimas. Dėl nenumatytų aplinkybių jums teko paimti banke 1000 litų kreditą. Kiekvieną mėnesį jūs galite grąžinti 20 lt. Jei mėnesio palūkanų norma 1.5%, per kiek laiko jūs atsiskaitysite su banku? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 1000 = 20 x {1- [1/(1+0,015)t]}/0,015

33 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
1000/20 x0,015 = 1- 1/(1+0,015)t 0,75 = 1- 1/(1+0,015)t 0,75 -1 = - 1/(1,015)t 0,25 = 1/(1,015)t ¼ = 1/(1+0,015)t 1,015t = 4 log 1,015t = log 4 t x log 1,015 = log 4 t = log4 / log1,015 = = 0,60206 / 0, = 93,11

34 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Palūkanų normos skaičiavimas. Draudimo bendrovė žada jums mokėti po litų kasmet ketverius metus, jei jūs 3000 litų sumokėsite iš anksto. Kokia yra palūkanų norma taikome šiuo atveju? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 3.000 = x {1- [1/(1+r)4]}/r R = 10% 3.000 = x {1- [1/(1+0,1)4]}/0,1 1.000 x {1- [1/(1+0,1)4]}/0,1 = 3.169,90

35 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
3.000 = x {1- [1/(1+r)4]}/r r = 12% 3.000=1.000 x {1- [1/(1+0,12)4]}/0, x{1- [1/(1+0,12)4]}/0,12= 3.037,35 r = 13% 3.000=1.000 x {1- [1/(1+0,13)4]}/0, x{1- [1/(1+0,13)4]}/0,13= 2.974,47 r = 12,59%

36 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Anuitetų būsimoji vertė. Tarkime jūs planuojate į pensijos sąskaitą, kuri moka 8% palūkanų, padėti litų kasmet. Jeigu po 30 metų jūs išeinate į pensiją, kiek jūs gausite? ∑ AnPV AnFV . FV = PV x (1+r)t

37 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r AnPV=2.000x{1-[1/(1+0,08)30]}/0,08 AnPV = x [1 - 0,0994)]/0,08 = = 22515,57 AnFV = 22515,57 x (1+ 0,08)30 = = 22515,57 x 10,063 = ,46

38 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
AnFV = AnPV x (1+r)t = = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r x (1+r)t = AnFV = C x {(1+r)t - 1}/r

39 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
AnFV = C x {(1+r)t - 1}/r AnFV= 2.000x{(1+0,08)30-1}/0,08 AnFV = x (10, )/0,08 = AnFV=2.000x113,2832 = ,46

40 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Annuity due value (mokėtinas anuitetas) = paprastasis anuitetas x ( 1+r) Skaičiavimas susideda iš dviejų žingsnių: Skaičiuojama dabartinė arba būsimoji paprastojo anuiteto vertė Gautas skaičius dauginamas iš (1+r) .

41 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
r = 10% AnFV = 400x1, x1, x1, x1, x1,11 = = 440, , , , ,204 = 2686,244 AnFV = C x {(1+r)t - 1}/r x (1+r) AnFV = {400x [(1+0,1)5 – 1]/0,10} x 1,1= = 2686,244

42 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
. AnPV = 400/ / / / /1.14 = = ,64+330,58+300,53 + + 273,21 = 1667,95

43 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r x (1+r) AnPV=400x{1–[1/(1+0,1)5]}/0,1 x x (1+0,1) = 400 x 3,7908/0,1x1,1= = 1516,32 x 1,1 = 1667,95

44 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Perpetuitetas – tai specialus anuitetas, kurio periodiniai mokėjimai tęsiasi neribotą laiką (amžinai). ( ) r C PerpPV þ ý ü î í ì ú û ù ê ë é + - = 1

45 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas.
Perpetuiteto dabartinė vertė : PrPV = C / r Investiciją sudaro 500 lt. dydžio periodiniai mokėjimai kiekvienais metais. Šios investicijos palūkanų norma yra 8 %.Kokia yra šios investicijos vertė? PrPV = C/r = = 500/0,08 = 6.250

46 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
Jei palūkanų norma yra 10% skaičiuojamų kas pusmetį, tai reiškia, kad investicija duoda 5% palūkanų išmokamų kas 6 mėnesiai. Klausimas: ar 5% kas 6 mėnesiai yra tas pats kas 10% per metus? 100 x 1,052 = 110,25 Metinė palūkanų norma = 10,25%

47 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
10% yra vadinama skelbiama arba nustatoma palūkanų norma (APR) 10,25% yra vadinama efektyvioji metinė palūkanų normas (EAR)

48 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
Bankas A: 15% skaičiuojama kasdien Bankas B: 15,5% skaičiuojama kas ketvirtį Bankas C: 16% skaičiuojama kartą per metus Kur geriausia atsidaryti taupymo sąskaitas? Banko C EAR yra 16%

49 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
Bankas B moka: 0,155/4 = 0,03875 or 3,875% per ketvirtį 100 Litų investicija per 4 ketvirčius padidės: 100 x 1, = 116,42 EAR = 16.42% Bankas A moka: 0,15/365 = 0, or 0,0411% kasdien 100 x 1, = 116,18 EAR = 16,18%

50 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
EAR = [ 1+ (APR/m )]m – 1 kur m – reiškia palūkanų mokėjimų skaičių per metus. APR yra metinė palūkanų norma EAR efektyvi metinė palūkanų norma PVZ., 12% yra skaičiuojama kiekvieną mėnesį: EAR = [ 1 + (0,12 / 12)12 -1 = 1, = = 1, = 12,6825%

51 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
Skaičiavimo periodai Skaičiavimo kartai Efektyvi metinė palūkanų norma Metai 1 10,00000% Ketvirtis 4 10,38129% Mėnuo 12 10,47131% Savaitė 52 10,50648% Diena 365 10,51558% Valanda 8.760 10,51703% Minutė 10,51709%

52 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas
EAR = e APR -1 Kur e yra skaičius 2,71828 EAR = 2,718280,10 -1 = 10,51709%

53 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
Trys paskolų tipai: Paprastosios diskontuotos paskolos Procentinės (palūkanininės) paskolos Amortizuotos paskolos

54 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
Paprastoji diskontuota paskola – t.y. kai pinigai gaunami šiandien, o grąžinama visa suma tam tikru momentu ateityje x 1,125 = kur r = 12%

55 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
Palūkaninės paskolos tokios, kai skolininkas moka kiekvieną atsiskaitymo periodą tik palūkanas , o pagrindinę paskolos sumą grąžina tam tikru momentu ateityje kur r = 10%

56 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
Amortizuota paskola, tai procesas kai paskola grąžinama atliekant periodinius pagrindinės sumos mokėjimus. Paprastas būdas amortizuotų paskolų – skolininkas moka kiekvieną periodą palūkanas ir fiksuotą paskolos sumą. Labiausiai paplitęs amortizuotų paskolų būdas, kai skolintojas kiekvieną periodą moka vienodą, fiksuotą sumą.

57 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
Tarkime, kad verslininkas pasiskolino 5.000, penkeriems metams su 9% metinėmis palūkanomis. Metai Pradžios balansas Viso mokėjimai Palūkanos Pagrindinė suma Pabaigos balansas 1 5.000 1.450 450 1.000 4.000 2 1.360 360 3.000 3 1.270 270 2.000 4 2.180 180 5 1.090 90 Viso 6.350 1.350

58 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 5.000 = C x {1- [1/(1+0,09)5]}/0,09 5.000 = C x (1-0,6499)/0,09 5.000 = C x 3,8897 C = / 3,8897 = 1.285,46

59 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija
Metai Pradžios balansas Viso mokėjimai Palūkanos Pagrindinė suma Pabaigos balansas 1 5.000,00 1.285,46 450,00 835,46 4.164,54 2 374,81 910,35 3.253,88 3 292,85 992,61 2.261,27 4 203,51 1.081,95 1.179,32 5 106,14 0,00 Iš viso 6.427,30 1.427,31