Panelinių duomenų modeliai 2014-10-15 Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (18 skyrelis. Traditional Panel Data Econometrics) G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition. ,Wiley, 2009,chapter 15 “Panel Data Analysis”,583-601psl.

Panelinių duomenų modeliai Samprata Paprastieji paneliniai modeliai Dinaminiai paneliniai modeliai

1. Samprata Duomenų rūšys: Laiko eilutės (Time series) Konkretaus stebimo objekto kitimas laike Skerspjūvio/erdviniai duomenys (cross-sectional) Stebimų objektų reikšmės fiksuojamos konkrečiu laiko momentu t. Blokuoti/paneliniai duomenys (Panel) Stebimų tų pačių N skerspjūvio objektų reikšmių kitimas laike Duomenų telkinys (Pool) Atsitiktinai pasirinktų N skerspjūvio objektų kitimas laike

Telkinių ir blokuotų duomenų rinkiniai: 1. Samprata Telkinių ir blokuotų duomenų rinkiniai: Subalansuoti Y1 1 Y1,2 Y1 3 ... Y1, T Y2,1 Y2,2 Y2,3 ... Y2, T ... ... ... ... ... Yn,1 Yn,2 Yn,3 ... Yn,T nesubalansuoti Y1 1 Y1,2 Y1 3 ... Y1, T-1 Y2,2 Y2,3 ... Y2, T ... ... ... ... ... Yn,3 ... Yn,T-5

Duomenų telkinių modeliai Privalumai: Nesudėtinga koeficientų ir testų skaičiavimo technika: fiktyvūs kintamieji, MKM Galimybė nustatyti struktūrinius pokyčius (Chow testas) Dėl didesnio laisvės laipsnių skaičiaus modeliai yra tikslesni

1. Samprata PVZ. Y emigravusių gyventojų sk. Lietuvos rajonuose Lietuvos rajonai i=1:60; Periodas t=2005:2010 YZarasų,2005 ... YAlytaus 2005 ........YAkmenės,2005 YZarasų,2006 YAlytaus,2006 ........YAkmenės,2006 ... ... ... ... ... YZarasų,2010 YAlytaus 2010 ..........YAkmenės,2010

2. Paprastieji paneliniai modeliai Vieno nepriklausomojo kintamojo modeliai Kelių nepriklausomų kintamųjų modeliai Kur i=1,N; t=1,T Vieno kintamojo modelis: Emigravusių sk. Priklausomybė nuo nedarbo lygio. Kelių kintamųjų modeliai: Y emigravusių priklausomybė nuo nedarbo lygio ir veikiančių ųmonių sk. Gal nuo išsilavinimo rodiklių.

2. Paprastieji paneliniai modeliai Kur i=1,N; t=1,T Galimi variantai Pastovios (bendros) konstantos (laisvojo nario) modeliai Fiksuoto poveikio (efekto) modeliai Atsitiktinio poveikio (efekto) modeliai

2. Paprastieji paneliniai modeliai Pastovios konstantos (laisvojo nario) modeliai kur i=1,N; t=1,T Prielaida: Visi stebimi skerspjūvio objektai yra homogeniški, (iš esmės nesiskiria) t.y., konstanta α yra vienoda visiems objektams Modelio koeficientus skaičiuojame taikydami MKM Pastaba: Labai tikėtina paklaidų autokoreliacija. Būtina patikrinti (DW statistika, korelograma)

2. Paprastieji paneliniai modeliai Fiksuotų poveikių metodas Prielaida: Skerspjūvio objektai nėra homogeniški, t.y., skiriasi jų konstantos α Fiksuotų poveikių modelis kur i=1,N; t=1,T

2. Paprastieji paneliniai modeliai Fiksuoto poveikio metodas Fiksuoto poveikio modelio koeficientų įvertinimas Įtraukiame N fiktyvių kintamųjų kiekvienam skerspjūvio objektui pažymėti D1, D2,.... DN kur i=1,N; t=1,T

2. Tiesiniai paneliniai duomenys Fiksuoto poveikio metodas Fiksuoto poveikio modelio koeficientų įvertinimas T T T • α + + u = • X N Y D k β N N N N 1 k N 1 T T

2. Paprastieji paneliniai modeliai Fiksuoto poveikio metodas Fiksuoto poveikio modelio koeficientai apskaičiuojami FKMKM (fiktyvių kintamųjų mažiausių kvadratų metodas) Koeficientų reikšmes įstatome į modelį α1 β1 β2 βk α2 β = α= αn

2. Paprastieji paneliniai modeliai Fiksuoto poveikio metodas Metodo trūkumai: Ribotas kitų fiktyvių kintamųjų taikymas modelyje, ypač tokių, kurie kai kuriuose objektuose nekinta nagrinėjamu periodu Modelyje yra skaičiuojamas labai didelis koeficientų skaičius. Labai tikėtinas multikolinerumas tarp fiksuotų efektų ir lėtai kintančių laike nepriklausomų kintamųjų

2. Paprastieji paneliniai modeliai F-testas Tikslas – patikrinti ar prasminga taikyti fiksuotų efektų metodą modelyje,ar tinka pastovios konstantos metodas Ho: α1=α2=… αN HA: Bent vienas αs≠ αj Testo statistika Hipotezės atmetimo taisyklė: Jeigu su pasirinktu α Fapskičiuota> F(N-1,NT-N-k), Tuomet atmetame H0. T.y., sudarant modelį prasminga taikyti fiksuotų efektų metodą. Kur, R2CC—modelio su pastovia konstanta determinacijos koeficientas Kur, R2FE—modelio su fiksuotais efektais determinacijos koeficientas

2. Paprastieji paneliniai modeliai Atsitiktinio poveikio metodas Pielaida: stebimi skerspjūvio objektai (i) nėra homogeniški t.y. nėra panašūs, tačiau jų skirtingumas yra ne pastovaus, o atsitiktinio pobūdžio, t.y., jis nagrinėjamu laikotarpiu kinta: αi = α + νi Taigi modelio konstanta yra visiems objektams vienoda, tačiau skiriasi paklaidos:

2. Paprastieji paneliniai modeliai Atsitiktinio poveikio metodas Panelinio modelio su atsitiktiniai poveikiais koeficientai skaičiuojami, taikant apibendrintą mažiausių kvadratų metodą (GLS –general least square)

Priminimas Apibendrintas (svertinis) MKM Tarkim turime regresiją Yi= β1 + β2X2i +... + βkXki +ui su heteroskedastiškomis paklaidomis, t.y., Var(ui)=E(ui2)=σi2

Priminimas Apibendrintas (svertinis) MKM Pakeičiame pradinę lygtį: Pažymim: Gauname naują regresiją, kurios paklaidų dispersija yra pastovi MKM su nepaslinktais ir efektyviais įverčiais

2. Paprastieji paneliniai modeliai Atsitiktinių poveikių metodas Privalumai: Reikia vertinti mažesnį koeficientų skaičių Galima į modelį įtraukti fiktyvius kintamuosius ir kiekybinius kintamuosius, kurie tam tikriems objektams yra pastovūs arba labai mažai kinta laike Įverčiai skaičiuojami taikant apibendrintą mažiausių kvadratų metodą Trūkumai: Atsitiktinių poveikių metodo įverčiai gali būti nesuderinti, jeigu atsitiktiniai efektai koreliuoja su kitais nepriklausomais kintamaisiais.

2. Paprastieji paneliniai modeliai Pasirinkimas tarp fiksuotų ir atsitiktinių poveikių metodų Kriterijai: Praktiškieji Statistiniai (Hausman testas)

2. Paprastieji paneliniai modeliai Pasrinkimas tarp fiksuotų ir atsitiktinių efektų metodų Praktiškasis kriterijus: Fiksuotų efektų metodas taikytinas, kai visų objektų laiko eilutės yra pilnos (duomenys subalansuoti). Atsitiktiniai efektai taikomi, kai duomenys nesubalansuoti Fiksuotų efektų metodas taikomas, kai tikėtina, kad yra dideli Y reikšmių skirtumai tarp skerspjūvio objektų

Paprastieji paneliniai modeliai Pasirinkimas tarp fiksuotų ir atsitiktinių efektų metodo Hausman testas Idėja: Atsitiktinių efektų metodo trūkumas – įverčiai gali būti neefektyvūs ir nesuderinti, jeigu atsitiktiniai efektai, kurių iš anksto nežinome, koreliuoja su kitais nepriklausomais kintamaisiais. Fiksuotų efektų metodo įverčiai yra suderinti, net ir esant tokiai koreliacijai. Taigi didesnė tikimybė, kad fiksuotų efektų įverčiai yra geri (BLUE: nepaslinkti-efektyvūs- suderinti). Todėl apskaičiuojame fiksuotų ir atsitiktinių efektų metodu įverčius β ir juos palyginame tarpusavyje. Jeigu jie statistiškai reikšmingai skiriasi, tuomet panelinių duomenų modelio koef. skaičiuojame fiksuotų efektų metodu. Jeigu skiriasi mažai -atsitiktinių efektų metodu. Žymėjimai:, β FE – fiksuotų efektų metodu apskaičiuoti įverčiai; βAE – atsitiktinių efektų metodu apskaičiuoti įverčiai.

Paprastieji paneliniai modeliai Hausman testas H0: Skirtumas β FE – βAE yra statistiškai nereikšmingas HA: skirtumas β FE – βAE yra statistiškai reikšmingas Testo statistika: Hipotezės atmetimo taisyklė: jeigu X2apskaičiuota > X2k , tuomet H0 atmetame, t.y., atsitiktinių efektų metodo įverčiai yra nesuderinti, todėl naudojame fiksuotų efektų metodą. Priešingu atveju, kai X2apskaičiuota < X2k , atsitiktinių efektų metodas yra tinkamesnis

2. Paprastieji panelinai modeliai Skaičiavimo rezultatai ir interpretacija Pastovios konstantos metodo skaičiavimo rezultatai: koeficientai: α, βJ, strandartinės paklaidos, t-stat.,jų tikimybės Modelio determinuotumo rodikliai:R2, Ad R2, DW, F- stat ir tikimybė Modelio specifikacijos tikrinimas (praleisti ir nereikalingai įtraukti veiksniai (Omitted/redundant variables) Paklaidų autokoreliacijos tikrinimas (DW-testas, korelogramos)

Veiksnių parinkimo testai (Omitted/redundant variables test) Praleisti reikšmingi veiksniai (omitted) Įtraukti nereikšmingi veiksniai (redundant)

Modelio specifikacijos tikrinimas (praleisti ir nereikalingai įtraukti veiksniai (Omitted/redundant variables) Regresijos lygties su apribojimais sąvoka Regresijos lygtis, kurios įverčiai tenkina tam tikras prielaidas - vadinama regresijos lygtimi su apribojimais (pvz.) Žymėjimai: R (restricted)– regresijos su apribojimais rodikliai (pvz: RSSR- regresijos lygties su apribojimais paklaidų kvadratų suma) U (unrestricted)– regresijos be apribojimų rodikliai (pvz: RSSU- regresijos lygties be apribojimų paklaidų kvadratų suma

Praleisti reikšmingi veiksniai (pvz.) (Omitted variable) Tarkim teisinga regresija Studento apskaičiuota regresija Regresija be apribojimų (U) R Regresija su apribojimais: β4 =0 (R)

Praleisti reikšmingi veiksniai Kas atsitiko? Netenkinama prielaida: E(ui) = 0, Įverčiai βj gali būti: Jeigu X4 koreliuoja su X2 (ir/arba X3 ir/arba X1) – tai paslinkti ir nesuderinti įverčiai b2,( ir/arba b3 ir/arba b1) Jeigu X4 nekoreliuoja su X1, X2 ir X3 – tai paslinktas tik α

Modelio specifikacijos tikrinimas:praleisti reikalingi veiksniai (omitted variables) Kaip patikrinti? H0: Neįtraukti kintamieji Xp ir Xs –yra nereikšmingi (koef. prie kintamųjų lygūs 0) (Mūsų pvz. X4) HA: : Bent vienas iš kintamųjų yra reikšmingas Testo statistika: Nulinė hipotezė atmetama, kai

Į modelį įtraukti nereikšmingi veiksniai(pvz) (Redundant variable) Tarkim teisinga regresija Studentas apskaičiavo regresiją

Į modelį įtraukti nereikšmingi veiksniai Kas atsitiko? Jeigu: X4 nekoreliuoja su X1 X2 X3 tuomet α, β1 ; β2 ; β3 nepaslinkti ir suderinti β1 ; β2 ; β3 efektyvūs, X4 koreliuoja su X2 (ir/arba X3 ir/arba X1) tuomet: β2 (ir/arba β3 ir/arba β1) paslinkti ir nesuderinti

Į modelį įtraukti nereikšmingi veiksniai Kaip patikrinti? Regresija su apribojimais: β4=0 (R) Regresija be apribojimų (U)

Modelio specifikacijos tikrinimas (nereikalingai įtraukti veiksniai redundant variables) Kaip patikrinti? H0: Kintanieji Xp ir Xs –yra nereikšmingi (koef. prie kintamųjų lygūs 0) (Mūsų pvz. X4) HA: : Bent vienas iš kintamųjųyra reikšmingas Testo statistika: Hipotezės atmetimo taisyklė Nulinė hipotezė atmetama, kai

2. Paprastieji panelinai modeliai Intepretacija Pastovios konstantos metodu apskaičiuoti koeficientai: Koef.βj – parodo, kiek vidutiniškai pasikeis priklausomojo kintamojo reikšmė, jeigu Xj reikšmė pasikeis vienu vnt. kitų veiksnių reikšmėms esant pastovioms. Koef.α parodo, kokia būtų Y vidutinė reikšmė, jeigu jo neveiktų veiksniai Xj, t.y., kai jų reikšmės lygios 0.

2. Paprastieji panelinai modeliai Skaičiavimo rezultatai ir interpretacija Fiksuotų efektų metodo skaičiavimo rezultatai: Koef. βj ir fiksuotų efektų koef αi visiems skerspjūvio objektams. Modelio patikimumo kriterijai. Koef. strandartinės paklaidos, t-stat. jų tikimybės, R2, Ad R2, DW, F- stat ir tikimybė Modelio specifikacijos tikrinimas (praleisti ir nereikalingai įtraukti veiksniai (Ommited/redundant variables)

2. Paprastieji panelinai modeliai Skaičiavimo rezultatai ir interpretacija Fiksuotų efektų metodo įverčių intepretacija : Koef.βj – parodo, kiek vidutiniškai pasikeis visų skerspjūvio objektų priklausomojo kintamojo reikšmė, jeigu Xj reikšmė pasikeis vienu vnt. kitų veiksnių reikšmėms esant pastovioms. Fiksuotų efektų koef. αi yra skirtingi skerspjūvio objektams. Koef. a1 parodo, kokia būtų pirmojo skerspjūvio objekto vidutinė reikšmė Y, jeigu jo neveiktų veiksniai Xj, t.y., kai Xj=0. Kiti koef. αi parodo kokiu dydžiu skiriasi likusių objektų laisvieji nariai lyginant su pirmuoju.

2. Paprastieji panelinai modeliai Skaičiavimo rezultatai ir interpretacija Atsitiktinių efektų metodo skaičiavimo rezultatai: Laisvasis narys α, koef. βj ir atsitiktinių efektų koef visiems skerspjūvio objektams. Modelio patikimumo kriterijai. Koef. strandartinės paklaidos, t-stat. jų tikimybės R2, Ad R2, DW, F- stat ir tikimybė Modelio specifikacijos tikrinimas (praleisti ir nereikalingai įtraukti veiksniai (Ommited/redundant variables)

2. Paprastieji panelinai modeliai Skaičiavimo rezultatai ir interpretacija Atsitiktinių efektų metodo įverčių interpretacija: Laisvasis narys α parodo, kokia būtų Y vidutinė reikšmė, jeigu jo neveiktų veiksniai Xj, t.y., kai jų reikšmės lygios 0. Koef.βj – parodo, kiek vidutiniškai pasikeis priklausomojo kintamojo reikšmė, jeigu Xj reikšmė pasikeis vienu vnt. kitų veiksnių reikšmėms esant pastovioms (ceteris paribus) Atsitiktinio poveikio koeficientai (jų yra N). parodo, kokiu vidutiniškai dydžiu yra koreguojama laisvojo nario konstanta kiekvienam skerspjūvio objektui.

Dinaminiai paneliniai modeliai Bendra forma: Problema: Įverčiai yra paslinkti dėl koreliacijos tarp Yi,t-1 ir ui,t Problemos sprendimo būdai: Skaičiuojant įverčius taikyti Vidutinių grupės įverčių metodą.

Panelinių duomenų modelių įverčių skaičiavimo būdai: Metodai: Mažiausių kvadratų metodas: Fiktyvių kintamųjų mažiausių kvadratų metodas Dviejų žingsnių mažiausių kvadatų metodas (instrumentinių kintamųjų) Apibendrintas mažiausių kvadratų metodas Apibendrintas momentų metodas