Tema 3 Pinigų laiko vertė Temos struktūra 3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas 3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas 3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. 3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. 3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas 3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas Būsimoji vertė yra investicijų arba pinigų vertė tam tikru ateities momentu. Pvz.1. Tarkime jūs investuojate €100 į taupomąją sąskaitą, kuri moka 10% palūkanų per metus. Kiek jūs turėsite po metų? €110 Lt. 100+100x10%=110 arba 100x1,1=110, kur 1,1=1+0,1 t.y. (1+r) , kur r – palūkanų norma

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas Pvz. 2 Jeigu banke €110 palikote sekantiems metams. Kiek turėsite po dvejų metų? 121 = 110 x 1,1 Šie €121 turi keturias dalis: €100 — pagrindinė suma, kuriai priskaičiuojamos palūkanos €10 — 10% palūkanų norma, kurią gavome pirmais metais €10 —10% palūkanų norma, kurią gavome antrais metais €1 — palūkanos, kurias gavome antrais metais už pirmų metų palūkanas.

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas Sudėtinės palūkanos reiškia, kad priskaičiuojamos palūkanos nuo palūkanų. Paprastosios palūkanos nereinvestuojamos, todėl palūkanos yra skaičiuojamos tik nuo pradinės sumos.

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas Pvz. 2. Panagrinėkime €121 būsimąją vertę. 121 = 110 x 1,1= 100 x 1,1 x 1,1 = = 100 x 1,12 Jeigu €121 mes investuotume vėl dar vieniems metams, turėtume: 133,1 = 121 x 1,1 = 100x1.1x1.1x1.1= 100 x 1,13 Būsimoji vertė = €100 x (1+r)t, r – palūkanų norma t – investavimo periodų skaičius

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas Būsimoji vertė (FV) = €100 x (1+r)t (1+r)t - būsimosios vertės palūkanų normos koeficientas Pvz. Kiek turėtume po 5 metų, jei investuotume €100? FV =100x(1+0,1)5 =100 x 1,6105 = €161,05 1,1 yx 5 = 1,6105

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas Būsimoji vertė (FV) = 100 x (1+r)t

3.1. Būsimoji vertė ir jos nustatymas

3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas Pvz.3. Kiek turime investuoti šiandien esant 10 % palūkanomis, kad po vienerių metų gautume €100? FV = PV x (1+r)t Tai, €100 = PV x (1+0,1)1 €100 Dabartinė vertė = —— = €90,909 Lt. 1,1

3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas Pvz.4. Tarkime, po dvejų metų norime turėti €1.000. Jeigu, jūs galite uždirbti 7% palūkanų, kiek reikia šiandien investuoti? €1.000 = PV x 1,072 PV = €1.000 / 1,1449 = 873,44 1,07 yx 2 1/x x 1000 = 873,44

3.2. Dabartinė vertė ir diskontavimas Diskontuoti tai reiškia apskaičiuoti būsimosios vertės dabartinę vertę. 1 / (1+r)t — dabartinės vertės koeficientas

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. FVt = PV x (1+r)t PV = FVt / (1+r)t Pvz. 5. Bendrovė ketina įsigyti nekilnojamo turto už €335.000. Po trejų metų turtą galima bus parduoti už €400.000. Mes žinome, kad tuos pačius €335.000 galima investuoti kitur ir gauti 10%. Ar verta bendrovei investuoti į nekilnojamą turtą?

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. PVZ. 5. (tęsinys) FVt = PV x (1+r)t FV = 335 x 1,13 = 335 x 1,331 = 445,89 Neverta: 445,89 > 400 Iki kiek pardavėjai turėtų sumažinti kainą, kad apsimokėtų investuoti į nekilnojamą turtą ? PV = FVt / (1+r)t PV= 400 / (1+0,1)3 = 400 / 1,331 =300,53

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. FVt = PV x (1+r)t PV = FVt / (1+r)t r nustatymas. Pvz.6. Mums siūloma investicija €1.000 vertės, kuri padvigubins investuotus pinigus per 8 metus. Tam, kad palygintume siūlomą investiciją, mums reikia sužinoti, kokia diskonto norma yra numatoma?

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. Pvz.6 (tęsinys) FVt = PV x (1+r)t €2.000 = €1.000 x (1+r)8 2 = (1+r)8 ____ 8√ 2 = 1+r arba 2 0,125 =1+r 1,090508 = 1+r r = 9,0508%

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. Taisyklė “72” Laikas per kurį padvigubinami pinigai yra apytiksliai lygu 72/r %. t ≈ 72/r% 8 ≈ 72/r% r ≈ 72/8 ≈ 9% Ši taisyklė pakankamai tiksli diskonto normoms esant nuo 5% iki 20 %.

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. Periodo t skaičiavimas Pvz.7. Tarkime mes norime įsigyti turto už €50.000. Šiuo metu turime €25.000. Jei mes galime uždirbti 12% metinių palūkanų investavę šiuos €25.000, tai per kiek laiko turėtume €50.000 savo sąskaitoje? t ≈ 72/r% t ≈ 72/12% ≈ 6 metai

3.3. Daugiau apie dabartinę ir būsimąją vertę. Pvz.7. (tęsinys) FVt = PV x (1+r)t €50.000 = €25.000 x (1+0,12)t (1+0,12)t = 2 log 1,12t = log2 t x log 1,12 = log2 t = log2 / log 1,12 t = 0,301029 / 0,049218 = 6,11625 metai

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 0 1 2 100 100 x 1,08 +108 208 x 1,08 224,64

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 0 1 2 100 100 x1,08 x1,08 116,64 x1,08 108 224,64

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. Yra du būsimosios vertės skaičiavimo būdai: Skaičiuojama kiekvieno laikotarpio piniginių įplaukų bendra suma ir ji perkeliama į sekantį laikotarpį Skaičiuojamos kiekvieno pinigų srauto būsimosios vertės ir po to sudedamos 0 1 2 3 4 5 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 0 1 2 3 4 5 0 0 2.200 4.620 7.282 10.210,20 0 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 0 2.000 4.200 6.620 9.282 12.210,20 0 1 2 3 4 5 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.200 2.420 2.662 2.928,20 12.210,20 x1,1 x1,1 x1,1 x1,1 x1,1 x1,11 x1,12 x1,13 x1,14

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. Pvz. Tarkime, jums reikia po metų turėti €1.000, po dviejų metų €2.000. Jeigu jūs galite uždirbti 9%, kiek tiksliai turėtumėte atidėti taupymui, kad ateityje turėtumėte reikiamą pinigų sumą? 0 1 2 1.000 2.000 1 1,091 1 1,092 x x

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 2.000 / 1,092 = 1.683,36 1.000 / 1,091 = 917.43 1.683,36 + 917,43 = 2.600,79 Galime patikrinti atsakymą: 2.600,79 x 1,09 = 2.834,86 2.834,86 – 1.000 = 1.834,86 1.834,86 x 1,09 = 2.000

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. PVZ. Jums yra siūloma investicija, kuri per pirmuosius metus duos €200 pajamų, antruosius metus €400, trečiuosius €600, ketvirtųjų pabaigoje €800. Labai panaši investicija uždirba 12%. Kokią didžiausią pinigų sumą turėtumėte mokėti renkantis šią investiciją? 0 1 2 3 4 200 400 600 800

3.4. Dabartinė ir būsimoji sudėtinių pinigų srautų vertė. 0 1 2 3 4 200 400 600 800 200 x 1/1,121 = 200/1,1200 = 178,57 400 x 1/1,122 = 400/1,2544 = 318,88 600 x 1/1,123 = 600/1,4049 = 427,07 800 x 1/1,124 = 800/1,5735 = 508,41 Dabartinė grynoji vertė = 1.432,93

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Paprastasis anuitetas – serija pastovių ir vienodų pinigų srautų atsirandančių fiksuoto skaičiaus laikotarpių pabaigoje. PVZ. Tarkime mes nagrinėjame projektą, kuris žada, kad kiekvienų sekančių trijų metų pabaigoje bus mokama po €500. Jei norime uždirbti 10%. Kiek yra vertas šis anuiteto formos pinigų srautas?

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. 0 1 2 3 500 500 500 PV = (500/1,11)+(500/1,12)+(500/1,13) = = 454,55 + 413,22 + 375,66 = €1.243,43

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Dabartinė anuiteto vertė priklauso nuo įmokų dydžio C; periodų skaičiaus t, kai palūkanų norma arba investicinė grąža yra duota r : AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r = = 500x{1 -[1/(1+0,1)3]}/0,1 = 500x[1–(1/1,331)]/0,1= = 500 x (1-0,75131)/0,1 = 500 x 2,48685 = 1.243,43

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Jūs žinote, kad galite mokėti 632 Lt per mėnesį ketindami įsigyti naują automobilį. Paskambinę į banką sužinote, kad palūkanų norma yra 1% per mėnesį 48 mėnesiams. Kiek jūs galite pasiskolinti? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r = = 632 x {1- [1/(1+0,01)48]}/0,01 = = 632 x [ 1-(1/1,61223)]/0,01 = = 632x(1-0,6203)/0,01 = 632x37,9740 = = 24.000

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Įmokų apskaičiavimas. Tarkime jūs ketinate pradėti naują verslą ir jums reikia pasiskolinti 100 000 lt. Jūs planuojate grąžinti paskolą per 5 metus, kasmet mokėdamas vienodą sumą. Jei metinė palūkanų norma yra 8%, kokio dydžio turi būti mokėjimai? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 100.000 = C x {1- [1/(1+0,08)5]}/0,08 100.000 = C x (1-0,6806)/0,08 100.000 = C x 3,9925 C = 100.000 / 3,9925 = 25.047

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Mokėjimų skaičiaus apskaičiavimas. Dėl nenumatytų aplinkybių jums teko paimti banke 1000 litų kreditą. Kiekvieną mėnesį jūs galite grąžinti 20 lt. Jei mėnesio palūkanų norma 1.5%, per kiek laiko jūs atsiskaitysite su banku? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 1000 = 20 x {1- [1/(1+0,015)t]}/0,015

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. 1000/20 x0,015 = 1- 1/(1+0,015)t 0,75 = 1- 1/(1+0,015)t 0,75 -1 = - 1/(1,015)t 0,25 = 1/(1,015)t ¼ = 1/(1+0,015)t 1,015t = 4 log 1,015t = log 4 t x log 1,015 = log 4 t = log4 / log1,015 = = 0,60206 / 0,006466 = 93,11

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Palūkanų normos skaičiavimas. Draudimo bendrovė žada jums mokėti po 1 000 litų kasmet ketverius metus, jei jūs 3000 litų sumokėsite iš anksto. Kokia yra palūkanų norma taikome šiuo atveju? AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 3.000 = 1.000 x {1- [1/(1+r)4]}/r R = 10% 3.000 = 1.000 x {1- [1/(1+0,1)4]}/0,1 1.000 x {1- [1/(1+0,1)4]}/0,1 = 3.169,90

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. 3.000 = 1.000 x {1- [1/(1+r)4]}/r r = 12% 3.000=1.000 x {1- [1/(1+0,12)4]}/0,12 1.000x{1- [1/(1+0,12)4]}/0,12= 3.037,35 r = 13% 3.000=1.000 x {1- [1/(1+0,13)4]}/0,13 1.000x{1- [1/(1+0,13)4]}/0,13= 2.974,47 r = 12,59%

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Anuitetų būsimoji vertė. Tarkime jūs planuojate į pensijos sąskaitą, kuri moka 8% palūkanų, padėti 2 000 litų kasmet. Jeigu po 30 metų jūs išeinate į pensiją, kiek jūs gausite? 0 1 2 3 30 2.000 2.000 2.000 2.000 . ∑ AnPV AnFV . FV = PV x (1+r)t

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r AnPV=2.000x{1-[1/(1+0,08)30]}/0,08 AnPV = 2.000 x [1 - 0,0994)]/0,08 = = 22515,57 AnFV = 22515,57 x (1+ 0,08)30 = = 22515,57 x 10,063 = 226.566,46

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. AnFV = AnPV x (1+r)t = = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r x (1+r)t = AnFV = C x {(1+r)t - 1}/r

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. AnFV = C x {(1+r)t - 1}/r AnFV= 2.000x{(1+0,08)30-1}/0,08 AnFV = 2.000 x (10,0627 -1)/0,08 = AnFV=2.000x113,2832 = 226.566,46

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Annuity due value (mokėtinas anuitetas) = paprastasis anuitetas x ( 1+r) Skaičiavimas susideda iš dviejų žingsnių: Skaičiuojama dabartinė arba būsimoji paprastojo anuiteto vertė Gautas skaičius dauginamas iš (1+r) 0 1 2 3 4 5 400 400 400 400 400. .

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. r = 10% AnFV = 400x1,15+ 400x1,14+ 400x1,13+ 400x1,12+ + 400x1,11 = = 440,00 +484,00 +532,400 + 585,64 + + 644,204 = 2686,244 AnFV = C x {(1+r)t - 1}/r x (1+r) AnFV = {400x [(1+0,1)5 – 1]/0,10} x 1,1= = 2686,244

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. 0 1 2 3 4 5 400 400 400 400 400 . AnPV = 400/1.10 + 400/1.11 + 400/1.12 + 400/1.13 + 400/1.14 = =400+363,64+330,58+300,53 + + 273,21 = 1667,95

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r x (1+r) AnPV=400x{1–[1/(1+0,1)5]}/0,1 x x (1+0,1) = 400 x 3,7908/0,1x1,1= = 1516,32 x 1,1 = 1667,95

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Perpetuitetas – tai specialus anuitetas, kurio periodiniai mokėjimai tęsiasi neribotą laiką (amžinai). ( ) r C PerpPV þ ý ü î í ì ú û ù ê ë é + - = ¥ 1

3.5. Anuitetas ir perpetuitetas. Perpetuiteto dabartinė vertė : PrPV = C / r Investiciją sudaro 500 lt. dydžio periodiniai mokėjimai kiekvienais metais. Šios investicijos palūkanų norma yra 8 %.Kokia yra šios investicijos vertė? PrPV = C/r = = 500/0,08 = 6.250

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas Jei palūkanų norma yra 10% skaičiuojamų kas pusmetį, tai reiškia, kad investicija duoda 5% palūkanų išmokamų kas 6 mėnesiai. Klausimas: ar 5% kas 6 mėnesiai yra tas pats kas 10% per metus? 100 x 1,052 = 110,25 Metinė palūkanų norma = 10,25%

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas 10% yra vadinama skelbiama arba nustatoma palūkanų norma (APR) 10,25% yra vadinama efektyvioji metinė palūkanų normas (EAR)

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas Bankas A: 15% skaičiuojama kasdien Bankas B: 15,5% skaičiuojama kas ketvirtį Bankas C: 16% skaičiuojama kartą per metus Kur geriausia atsidaryti taupymo sąskaitas? Banko C EAR yra 16%

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas Bankas B moka: 0,155/4 = 0,03875 or 3,875% per ketvirtį 100 Litų investicija per 4 ketvirčius padidės: 100 x 1,038754 = 116,42 EAR = 16.42% Bankas A moka: 0,15/365 = 0,000411 or 0,0411% kasdien 100 x 1,000411365 = 116,18 EAR = 16,18%

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas EAR = [ 1+ (APR/m )]m – 1 kur m – reiškia palūkanų mokėjimų skaičių per metus. APR yra metinė palūkanų norma EAR efektyvi metinė palūkanų norma PVZ., 12% yra skaičiuojama kiekvieną mėnesį: EAR = [ 1 + (0,12 / 12)12 -1 = 1,0112 -1 = = 1,126825 -1 = 12,6825%

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas Skaičiavimo periodai Skaičiavimo kartai Efektyvi metinė palūkanų norma Metai 1 10,00000% Ketvirtis 4 10,38129% Mėnuo 12 10,47131% Savaitė 52 10,50648% Diena 365 10,51558% Valanda 8.760 10,51703% Minutė 525.600 10,51709%

3.6. Normų palyginimas: sudėjimo efektas EAR = e APR -1 Kur e yra skaičius 2,71828 EAR = 2,718280,10 -1 = 10,51709%

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija Trys paskolų tipai: Paprastosios diskontuotos paskolos Procentinės (palūkanininės) paskolos Amortizuotos paskolos

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija Paprastoji diskontuota paskola – t.y. kai pinigai gaunami šiandien, o grąžinama visa suma tam tikru momentu ateityje. 0 1 2 3 4 5 14.186 x 1,125 = 25.000 kur r = 12%

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija Palūkaninės paskolos tokios, kai skolininkas moka kiekvieną atsiskaitymo periodą tik palūkanas , o pagrindinę paskolos sumą grąžina tam tikru momentu ateityje. 0 1 2 3 1.000 100 100 1.100 kur r = 10%

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija Amortizuota paskola, tai procesas kai paskola grąžinama atliekant periodinius pagrindinės sumos mokėjimus. Paprastas būdas amortizuotų paskolų – skolininkas moka kiekvieną periodą palūkanas ir fiksuotą paskolos sumą. Labiausiai paplitęs amortizuotų paskolų būdas, kai skolintojas kiekvieną periodą moka vienodą, fiksuotą sumą.

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija Tarkime, kad verslininkas pasiskolino 5.000, penkeriems metams su 9% metinėmis palūkanomis. Metai Pradžios balansas Viso mokėjimai Palūkanos Pagrindinė suma Pabaigos balansas 1 5.000 1.450 450 1.000 4.000 2 1.360 360 3.000 3 1.270 270 2.000 4 2.180 180 5 1.090 90 Viso 6.350 1.350

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija AnPV = C x {1 -[1/(1+r)t]}/r 5.000 = C x {1- [1/(1+0,09)5]}/0,09 5.000 = C x (1-0,6499)/0,09 5.000 = C x 3,8897 C = 5.000 / 3,8897 = 1.285,46

3.7. Paskolų tipai ir paskolų amortizacija Metai Pradžios balansas Viso mokėjimai Palūkanos Pagrindinė suma Pabaigos balansas 1 5.000,00 1.285,46 450,00 835,46 4.164,54 2 374,81 910,35 3.253,88 3 292,85 992,61 2.261,27 4 203,51 1.081,95 1.179,32 5 106,14 0,00 Iš viso 6.427,30 1.427,31