Dualumo principas

Funkcija 𝑓 1 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 ) vadinama dualiąja funkcijai 𝑓 2 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 ), jeigu 𝑓 1 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 𝑓 2 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 )

Pastebėkime, kad 𝑓 2 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 𝑓 2 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 = = 𝑓 1 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) Jei funkcija 𝑓 1 yra dualioji funkcijai 𝑓 2 , tai ir funkcija 𝑓 2 yra dualioji funkcijai 𝑓 1 .

Pavyzdys: 𝑓 1 𝑥,𝑦 =𝑥∨𝑦 𝑓 2 𝑥,𝑦 = 𝑓 1 𝑥 , 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑦 =𝑥&𝑦

Funkcijos 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 ) dualiąja funkciją žymėsime 𝑓 ∗ ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 ). Funkcija 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 ) vadinama savidualiaja, kai 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 𝑓 ∗ ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 ).

Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji. Iš pradžių sudarysime jos teisingumo lentelę: 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤⊕𝑒 𝑤⊕𝑒 |𝑥 P(e,w,x) 1

Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji. Iš pradžių sudarysime jos teisingumo lentelę: 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤⊕𝑒 𝑤⊕𝑒 |𝑥 P(e,w,x) 1

Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji. Iš pradžių sudarysime jos teisingumo lentelę: 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤⊕𝑒 𝑤⊕𝑒 |𝑥 P(e,w,x) 1

Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji. Iš pradžių sudarysime jos teisingumo lentelę: 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤⊕𝑒 𝑤⊕𝑒 |𝑥 P(e,w,x) 1

Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji Patikrinsime, ar funkcija 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 yra savidualioji. Iš pradžių sudarysime jos teisingumo lentelę: 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤⊕𝑒 𝑤⊕𝑒 |𝑥 P(e,w,x) 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1

Funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 dualioji funkcija yra 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑒 𝑤 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 𝑤 ⊕ 𝑒 | 𝑥 ↓ 𝑤 𝑃 ∗ 𝑃 1 Funkcijų 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 ir 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 teisingumo lentelių paskutiniai stulpeliai skiriasi, t. y. funkcija nėra savidualioji.

Tą patį uždavinį galima išspręsti beveik dvigubai greičiau Tą patį uždavinį galima išspręsti beveik dvigubai greičiau. Iš pradžių sudarome funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 = 𝑤⊕𝑒 |𝑥 ↓𝑤 teisingumo lentelę (tai padarėme anksčiau): 𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) Pastebėkime, kad 𝑃 ∗ 0,0,0 = 𝑃( 0 , 0 , 0 ) = 𝑃 1,1,1 = 0 =1

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 0,0,1 = 𝑃( 0 , 0 , 1 ) = 𝑃 1,1,0 = 0 =1

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 0,1,0 = 𝑃( 0 , 1 , 0 ) = 𝑃 1,0,1 = 0 =1

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 0,1,1 = 𝑃( 0 , 1 , 1 ) = 𝑃 1,0,0 = 1 =0

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 1,0,0 = 𝑃( 1 , 0 , 0 ) = 𝑃 0,1,1 = 0 =1

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 1,0,1 = 𝑃( 1 , 0 , 1 ) = 𝑃 0,1,0 = 0 =1

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 1,1,0 = 𝑃( 1 , 1 , 0 ) = 𝑃 0,0,1 = 1 =0

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 1,1,1 = 𝑃( 1 , 1 , 1 ) = 𝑃 0,0,0 = 1 =0

𝑒 𝑤 𝑥 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 1 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = 1 𝑃 ∗ 𝑒,𝑤,𝑥 1 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) 𝑃 ∗ 1,1,1 = 𝑃( 1 , 1 , 1 ) = 𝑃 0,0,0 = 1 =0 Radome funkcijos 𝑃 𝑒,𝑤,𝑥 dualiąją funkciją. Rezultatas sutampa su ankstesiuoju.

Pavyzdys. Tarkime, 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =0 turi 3 sprendinius. Kiek sprendinių turės 𝑓 ∗ 𝑥,𝑦,𝑧 =0? 𝑓 ∗ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… ,𝑥 𝑛 = = 𝑓( 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 ) Sudarydami dualiosios funkcijos reikšmių lentelę pradinės funkcijos reikšmes keitėme priešingomis. Pagal sąlygą 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =0 turi 3 sprendinius, taigi tiek pat sprendinių turės 𝑓 ∗ 𝑥,𝑦,𝑧 =1 (3 nuliai virs 3 vienetais). 𝑓 ∗ 𝑥,𝑦,𝑧 - trijų kintamųjų funkcija (viso 8 galimos kintamųjų interpretacijos), taigi lentelėje bus 3 vienetai ir 5 nuliai. Atsakymas: penkis.

x y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 1 Dualioji f15 f11 f13 f9 f8 f10 f12 f14

Pavyzdžiai