Monotoninės funkcijos

yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Tarkime, kad yra du bulinių kintamųjų rinkiniai. Rašysime α ≤ β, kai αj ≤ βj su visais j=1,2,…,n. Pavyzdys. (0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1); (0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1); Negalima rašyti: (0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1). Jeigu α ≤ β  f(α) ≤ f(β), tai Bulio funkcija vadinama monotonine f(1,0) f(0,1) f(1,1) f(0,0)

f(1,0) f(0,1) f(1,1) f(0,0) x y f8 1 1 monotoninė

f(1,0) f(0,1) f(1,1) f(0,0) x y f9 1 1 Nėra monotoninė

f(1,0) f(0,1) f(1,1) f(0,0) x y f15 1 1 monotoninė

Funkcijos reikšmes iš lentelės surašome tokia tvarka: Patikrinsime, ar funkcija f(x,y,z) yra monotoninė. f(1,0,0) f(0,1,0) f(0,0,1) f(1,1,1) f(1,1,0) f(1,0,1) f(0,0,0) f(0,1,1) x y z f(x,y,z) 1 1 Matome, kad funkcijos reikšmės šiomis kryptimis nemažėja, t.y. ji monotoninė.

Tiesinės funkcijos

Pavyzdys. Ar funkcija f(x,y) = x  y yra tiesinė?       c0 = 1 c2 = 1 Pavyzdys. Ar funkcija f(x,y) = x  y yra tiesinė? c1 = 1 x  y = c0  c1 & x  c2 & y x y x  y 1 1 = 0  0 = c0  c1 & 0  c2 & 0 = с0  0  0 = с0 0 = 0  1 = 1  c1 & 0  c2 & 1 = 1  0  с2 = ¬с2 0 = 1  0 = 1  c1 & 1  1 & 0 = 1  с1  0 = ¬с1 Tada gauname prieštaravimą: 0 = 1  1 = 1  1 & 1  1 & 1 = 1  1  1 = 1

Dviejų kintamųjų funkcijai: f(x, y) = c0  c1 & x  c2 & y f(0, 0) = c0  c1 & 0  c2 & 0 = с0  0  0 = с0 f(0,1) = c0  c1 & 0  c2 & 1 = c0  0  с2 . Jeigu c0=0, tai c2=f(0,1). Jeigu c0=1, tai c2= ¬f(0,1) f(1,0) = c0  c1 & 1  c2 & 0 = c0  с1  0 . Jeigu c0=0, tai c1=f(1,0). Jeigu c0=1, tai c1= ¬f(1,0)

c0 f(0,0) 1 c1 f(1,0) ¬ f(1,0) c2 f(0,1) ¬ f(0,1) c0 f(0, 0, 0) 1 c1 Dviejų kintamųjų funkcijai c0 f(0,0) 1 c1 f(1,0) ¬ f(1,0) c2 f(0,1) ¬ f(0,1) Analogiškai gaunamos formulės trijų kintamųjų funkcijai: c0 f(0, 0, 0) 1 c1 f(1,0,0) ¬ f(1,0,0) c2 f(0,1,0) ¬ f(0,1,0) c3 f(0,0,1) ¬ f(0,0,1)

1   1 1 1 1

1   1 1 1 1 1 1 1 1

Fiktyvieji kintamieji

f( ... , xj-1, 0, xj+1, … ) = f( ... , xj-1, 1, xj+1, … ) Bulio funkcijos f(x1,x2, ..., xn) kintamasis xj (0 ≤ j ≤ n) vadinamas fiktyviuoju, jei f( ... , xj-1, 0, xj+1, … ) = f( ... , xj-1, 1, xj+1, … ) Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais. Jeigu funkcija yra tiesinė, t.y. ją galima užrašyti f(x1, x2, ... , xn) = c0  c1 & x1  c2 & x2  …  cn & xn tai kintamasis, kurio atitinkamas koeficientas cj, yra lygus nuliui, bus fiktyvus. Fiktyvius kintamuosius galima rasti naudojant Karno kortas ir t.t.

x y z f(x,y,z) 1 x y z f(x,y,z) 1 x y z f(x,y,z) 1 x y z f(x,y,z) 1 Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Tikriname, ar x yra fiktyvus kintamasis x y z f(x,y,z) 1 x y z f(x,y,z) 1 x y z f(x,y,z) 1 x y z f(x,y,z) 1 Matome, kad f(0,0,1)=1, o f(1,0,1)=0. Tai reiškia, kad x nėra fiktyvus. 2. Tikriname, ar y yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(1,0,0)=0, o f(1,1,0)=1. Tai reiškia, kad y nėra fiktyvus. 3. Tikriname, ar z yra fiktyvus kintamasis Matome, kad f(0,0,0)=0, o f(0,0,1)=1. Tai reiškia, kad z nėra fiktyvus. Funkcija neturi fiktyvių kintamųjų

Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Tikriname, ar funkcija yra tiesinė x y z f(x,y,z) 1 c0 = 0, c1 = 0, c2 = 1, c3 = 1 ir tada f(x,y,z) = 0  0&x  1&y  1&z = = 0  0  y  z = y  z 2. Tikriname, ar tai tiesa (įstatome y ir z reikšmes ir sulyginame su lentele) f(0,1,1) = 1  1 = 0; f(1,0,1) = 0  1 = 1; f(1,1,0) = 1  0 = 1; f(1,1,1) = 1  1 = 0. 3. Matome, kad visos reikšmės sutapo, t.y. funkcija yra tiesinė. Koeficientas prie x lygus 0, t.y. x – fiktyvus kintamasis

Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)? 1. Sudarome disjunkcinę formą: f (x,y,z) = (¬x&¬y&z) v (¬x&y&¬z) v (¬x&y&z) v (x&y&z). x y z f(x,y,z) 1 2. Užpildome Karno kortą: y ¬ y x X ¬ x z ¬ z Supaprastiname reiškinį: ( y & ¬ z ) v ( ¬ x & z ). Matome, kad visi kintamieji liko. T.y. fiktyvių kintamųjų nėra.

Funkcijų klasės. Pilnosios funkcijų sistemos

(T0) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia nulio, jei (T1) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia vieneto, jei f(1, 1, ... , 1)=1. (T*) Savidualiosios funkcijos (T≤) Monotoninės funkcijos (TL) Tiesinės funkcijos

Apibrėžimas. Funkcijų sistema F={f1, f2, … , fm} yra vadinama pilnąja, jei bet kurią bulinę funkciją galima išreikšti šios sistemos funkcijomis. Pavyzdys. Bet kuri bulinė funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Sistema {¬, &, V} yra pilnoji. Taikydami de Morgano dėsnius, galime disjunkciją pakeisti konjunkcija ir atvirkščiai. Todėl sistemos {¬, V} ir {¬, &} – irgi pilnosios. Posto teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T0, T1, T*, T≤, TL; t.y. galima nurodyti bent vieną funkciją, kuri nėra nekeičianti nulio, nekeičianti vieneto, savidualioji, monotoninė ir tiesinė. Funkcijų sistemos {¬, }, {|}, {} – irgi pilnosios.

Tyrimo pavyzdys

Tikriname, ar funkcijos nekeičia nulio  

Tikriname, ar funkcijos nekeičia vienetą  

Tikriname, ar funkcijos savidualiosios  

  f(1,0,0) f(0,1,0) f(0,0,1) f(1,1,1) f(1,1,0) f(1,0,1) f(0,0,0) f(0,1,1) 1

  f(1,0,0) f(0,1,0) f(0,0,1) f(1,1,1) f(1,1,0) f(1,0,1) f(0,0,0) f(0,1,1) 1

Sutampa – taip; y dingo, taigi jis fiktyvus       Sutampa – taip; y dingo, taigi jis fiktyvus

Sutampa – taip; y dingo, taigi jis fiktyvus       Sutampa – taip; y dingo, taigi jis fiktyvus

  Liko tuščių eilučių  

  Liko tuščių eilučių  

Tikriname abi funkcijas Liko tuščių eilučių  

Savarankiškam darbui