FUNKCIJOS IŠVESTINĖ IR JOS TAIKYMAS Pasiruošk matematikos egzaminui FUNKCIJOS IŠVESTINĖ IR JOS TAIKYMAS y x y = k2 x + b2 x01 x02 b1 b2 y = f (x) y = g(x) y = k1 x + b1 I. Demidova

Funkcijos išvestinės apibrėžimas Argumento pokyčių vadiname skirtumą x – x0 . Žymima Δx: Δx = x – x0 Funkcijos reikšmių pokyčių taške x0 vadiname skirtumą f (x0 + Δx) – f (x0 ) ir žymime Δf (x0 ): Δf (x0 ) = f (x0 + Δx) – f (x0 ) Tolydžios funkcijos 𝒇 𝒙 išvestinė taške 𝒙 𝟎 vadinama funkcijos 𝒇 𝒙 pokyčio Δf (x0 ) ir argumento pokyčio Δx santykio riba, kai Δx→𝟎: 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 = lim ∆𝒙→𝟎 𝚫𝒇 𝒙 𝟎 𝚫𝒙

Funkcijų išvestinių lentelė: 1 𝑥 ′ =− 1 𝑥 2 𝑥 𝑟 ′ =𝑟∙ 𝑥 𝑟−1 , 𝑟∈𝑅 𝑥 ′ = 1 2 𝑥 , 𝑥>0 𝐶 ′ =0, 𝐶 ─ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑥 ′ = 𝑎 𝑥 ∙𝑙𝑛𝑎, 𝑎>0, 𝑎≠1 𝑒 𝑥 ′ = 𝑒 𝑥 𝑙𝑛𝑥 ′ = 1 𝑥 , 𝑥>0 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ′ = 1 𝑥∙𝑙𝑛𝑎 , 𝑎>0, 𝑎≠1, 𝑥>0

Išvestinių skaičiavimai   Teisingas atsakymas   Teisingas atsakymas   Teisingas atsakymas 𝑒 −𝑥 ′ = − 𝑒 −𝑥 Teisingas atsakymas 𝑒 𝑥 ∙𝑠𝑖𝑛𝑥 ′ = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥 Teisingas atsakymas

Išvestinių skaičiavimai 3− 𝑥 2 ′ = 1 2 3− 𝑥 2 ∙ 3− 𝑥 2 ′ = − 1 4 3− 𝑥 2 Teisingas atsakymas Teisingas atsakymas 3− 1 3 𝑥 3 ′ = 3 3− 1 3 𝑥 2 ∙ 3− 1 3 𝑥 ′ =− 3− 1 3 𝑥 2 Teisingas atsakymas 5 𝑥 𝑙𝑛5 +𝑒𝑥 ′ = 1 𝑙𝑛5 5 𝑥 ′ +𝑒= 𝑙𝑛5∙ 5 𝑥 𝑙𝑛5 +𝑒= 5 𝑥 +𝑒 Teisingas atsakymas 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 ′ = 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑥 ∙ 𝜋𝑥 ′ =𝜋𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑥 Teisingas atsakymas 𝑐𝑡𝑔 2 3𝑥 ′ =2𝑐𝑡𝑔 3𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔 3𝑥 ′ =− 2𝑐𝑡𝑔 3𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑥 ∙ 3𝑥 ′ =− 6𝑐𝑡𝑔 3𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑥

Funkcijos grafiko liestinė. Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė

Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė Funkcijos grafiko liestinės lygtis taške 𝒙 𝟎 𝒚=𝒇 𝒙 𝟎 + 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 𝒙− 𝒙 𝟎 liestinės lygtis y = k x + b y = f (x) y x x0 α Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 =𝒌=𝒕𝒈α k ─ liestinės krypties koeficientas 𝒙 𝟎 ─ lietimosi taško abscisė α ─ kampas, kurį liestinė sudaro su teigiamoju ašies Ox pusašiu

Liestinės, lygiagrečios su abscisių ašimi, krypties koeficientas lygus nuliui y x y = f (x) 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 =𝒌=𝟎

Lygiagrečiųjų tiesių krypčių koeficientai yra lygūs x y = k2 x + b2 l1 x01 x02 b1 b2 y = f (x) y = k1 x + b1 Jei l1 || l2 , tai k1 = k2 𝒌 𝟏 = 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 𝟏 𝒌 𝟐 = 𝒈 ′ 𝒙 𝟎 𝟐 y = g (x) l2

Statmenųjų tiesių krypčių koeficientų sandauga lygi -1 y = f (x) y l2 x02 x x01 l1 y = g (x) Jei l1 ⊥ l2 , tai k1 k2 = -1 𝒌 𝟏 = 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 𝟏 𝒌 𝟐 = 𝒈 ′ 𝒙 𝟎 𝟐

Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale [a;b] Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale [a;b]. Brėžinyje pavaizduotas jos grafikas. Naudodamiesi brėžiniu, nustatykite kiek yra funkcijos grafiko taškų, kuriuose liestinė lygiagreti su abscisių ašimi. y y = f(x) a x b   http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=TrainArchive Ats.: 5

y y = 6 y = f(x) x Ats.: 3 neegzistuoja -6 7 Šiame taške išvestinė Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale (-6; 7). Brėžinyje pavaizduotas jos grafikas. Naudodamiesi brėžiniu, nustatykite kiek yra funkcijos grafiko taškų, kuriuose liestinė lygiagreti su tiese y = 6. y y = 6 . y = f(x) x -6 7   Šiame taške išvestinė neegzistuoja Ats.: 3

Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale (-7; 5) Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale (-7; 5). Brėžinyje pavaizduoti funkcijos ir jos išvestinės grafikai. Naudodamiesi brėžiniu, apskaičiuokite funkcijos išvestinės reikšmę taške хо у = f(x) В α хо 5 α А 4 С Ats.: 1,25

Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale (-10; 2) Funkcija у = f(x) apibrėžta ir tolydi intervale (-10; 2). Brėžinyje pavaizduoti funkcijos ir jos išvestinės grafikai. Naudodamiesi brėžiniu, apskaičiuokite funkcijos išvestinės reikšmę taške хо В у = f(x) α tg(180° − α) = ВС : АС = = 6 : 8 = 0,75 tg (180° − α) = − tg α tg α = −0,75 6 хо 180°− α С 8 А Ats.: −0,75

Funkcijos išvestinės mechaninė prasmė Kūnas juda pagal dėsnį 𝒚=𝒔 𝒕 . Norėdami surasti kūno vidutinį judėjimo greitį laikotarpių nuo t iki 𝒕+∆𝒕, turime nueitą kelią padalyti iš laiko pokyčio Jei ∆𝒕 artinsime prie nulio, tai 𝒗 𝒗𝒊𝒅. = ∆𝒔 ∆𝒕 artės prie judėjimo greičio laiko momentu t s(t) – materialaus taško nueitas kelias iki laiko momento t v(t) – momentinis greitis laiko momentu t a(t) – momentinis pagreitis laiko momentu t

Pavyzdys Taškas juda pagal dėsnį 𝒔 𝒕 = 𝒕−𝟏 𝟑 , 𝒕∈ 𝟎;𝟏𝟎 , čia 𝒔 ─ taško nueitas kelias( metrais), 𝒕 ─ judėjimo laikas (sekundėmis). Raskite: 1) kokiu vidutiniu greičiu (m/s) taškas juda pirmąsias 10 sekundžių nuo judėjimo pradžios; 𝒗 𝒗𝒊𝒅. = 𝒔 𝟏𝟎 −𝒔 𝟎 𝟏𝟎−𝟎 = 𝟗 𝟑 − −𝟏 𝟑 𝟏𝟎 = 𝟕𝟑𝟎 𝟏𝟎 = 𝟕𝟑 (m/s) 2) koks yra taško greitis laiko momentu t = 3 s; 𝒗 𝒕 = 𝒔 ′ 𝒕 =𝟑 𝒕−𝟏 𝟐 𝒗 𝟑 =𝟑 𝟑−𝟏 𝟐 =𝟏𝟐 (m/𝒔) 3) koks yra taško pagreitis laiko momentu t = 3 s; 𝒂 𝒕 = 𝒗 ′ 𝒕 =𝟔 𝒕−𝟏 𝒂 𝟑 =𝟔 𝟑−𝟏 = 12 (m/ 𝒔 𝟐 )

5 s 6 s 3 s nebesustos Pavyzdys Materialiojo taško judėjimo tiese dėsnis nusakomas lygtimi 𝒔 𝒕 =𝟓 𝒕 𝟐 −𝟑𝟎𝒕, čia 𝒔 𝒕 ─ nueitas kelias metrais, 𝒕 ─ laikas sekundėmis. Kuriuo laiko momentu kūnas sustos? Pagalvok! 5 s Pagalvok! 6 s Pagalvok! nebesustos 3 s Teisingai!

Funkcijos monotoniškumo intervalai .

Jei funkcija f (x) intervale (a; b) turi išvestinę ir išvestinė yra teigiama, tai šiame intervale funkcijos reikšmės didėja y = f (x) M3 x y M2 M1 𝛼 2 𝛼 1 𝛼 3 а b

Jei funkcija f (x) intervale (a; b) turi išvestinę ir išvestinė yra neigiama, tai šiame intervale funkcijos reikšmės mažėja 𝑴 𝟏

Funkcija y = f (x) apibrėžta intervale (a; b), brėžinyje pavaizduotas jos išvestinės grafikas у х 1 1. Nurodykite funkcijos reikšmių mažėjimo intervalus b а −𝟑; 3 2. Nurodykite funkcijos reikšmių didėjimo intervalus 𝒂;−𝟑 ir 𝟑;𝒃

Pavaizduotas funkcijos y = f(x) = ax2 + bx + c grafikas ir keturios tiesės. Viena iš šitų tiesių – duotosios funkcijos išvestinės grafikas. Nurodykite šios tiesės numerį. 1 3 3 2 1 4 х у -3 Pagalvok! 1 3 Pagalvok! 2 Teisingai! 3 Pagalvok! 4 – + f(x) f /(x) х Patikrinimas 2

Naudodamiesi pavaizduotu funkcijos 𝒚=𝒇 𝒙 grafiku intervale ( - 8; 3), apskaičiuokite keliuose taškuose, kurių abscisės yra sveikieji skaičiai, funkcijos išvestinės reikšmės yra neigiamos Atsakymas: 4

Raskite funkcijos 𝒇 𝒙 =𝟎,𝟏 𝒙 𝟒 −𝟎,𝟒 𝒙 𝟑 +𝟎,𝟒 𝒙 𝟐 +𝟎,𝟓 didėjimo ir mažėjimo intervalus 𝑥 1 =0, 𝑥 2 =1, 𝑥 3 =2 - + - + х 1 2 Funkcijos reikšmės mažėja, kai 𝒙∈ −∞;𝟎 ir 𝒙∈ 𝟏;𝟐 Funkcijos reikšmės didėja, kai 𝒙∈ 𝟎;𝟏 ir 𝒙∈ 𝟐;+∞

Funkcijos kritiniai taškai Funkcijos apibrėžimo srities taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais taškais

Maksimumo ir minimumo taškai vadinami funkcijos ekstremumo taškais

Ne kiekvienas funkcijos kritinis taškas yra ekstremumo taškas! 𝑥 3 ′ = 0 3 𝑥 2 = 0 𝑥=0 Taškas 𝒙=𝟎 yra kritinis, bet jis nėra ekstremumo taškas Ne kiekvienas funkcijos kritinis taškas yra ekstremumo taškas!

Funkcijos ekstremumo taškai ir ekstremumai

Ekstremumo taškai + − Kritinis taškas, kuriame argumentui x pereinant šį tašką iš kairės į dešinę, išvestinė keičia ženklą yra funkcijos ekstremumo taškas + − + − Jei išvestinė, pereinant kritinį tašką, keičia ženklą iš „+“ į „-“ ─ maksimumo taškas iš „-“ į „+“ ─ minimumo taškas

Funkcijos reikšmės ekstremumo taškuose vadinami funkcijos ekstremumais Jei reikia rasti funkcijos maksimumą ar minimumą, apskaičiuojame funkcijos reikšmę maksimumo ar minimumo taške

Funkcija y = f (x) apibrėžta intervale (-11; 11), brėžinyje pavaizduotas jos išvestinės grafikas. Kiek maksimumo taškų intervale [−10; 10] turi funkcija? . у у = f ′(x) + + + –10 – – – х 10 f(x) х1 х2 х3 х4 х5 Ats.: 2 max max

Raskite funkcijos y = ln(9x+10) – 9х maksimumą Pavyzdys Raskite funkcijos y = ln(9x+10) – 9х maksimumą Šios funkcijos apibrėžimo sritis: 9x+10>0 𝒙>− 𝟏𝟎 𝟗 Apskaičiuosime funkcijos išvestinę: y ′ x = 1 9x+10 ∙ 9x+10 ′ −9= 9 9𝑥+10 −9= −81 x+1 9x+10 , 𝑥≠− 10 9 y ′ x =0 −81 x+1 9x+10 =0 x=−1 kritinis taškas x 𝑦 ′ 𝑥 𝑦 𝑥 -1 + – 9 10 – x=−1 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎𝒐 taškas 𝑦 −1 =𝑙𝑛 −9+10 −9∙ −1 =𝑙𝑛1+9= 9 funkcijos maksimumas Ats.: 𝒚 𝒎𝒂𝒙 =𝒚 −𝟏 =𝟗

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės uždarajame intervale . Funkcijos maksimumas ar minimumas ir jos didžiausia ar mažiausia reikšmės tam tikrame uždarajame intervale nebūtinai sutampa

o a b o a b Funkcija didėjanti y x Funkcija mažėjanti y x Didžiausia reikšmė Tarkime, kad funkcija y = f (x) neturi kritinių taškų intervale [а; b]. y = f (x) Mažiausia reikšmė x o a b Savo didžiausią ir mažiausią reikšmes uždarajame intervale [а; b] funkcija įgyja intervalo galuose Funkcija mažėjanti y http://www.terver.ru/maththeoryAlgebra.php m Didžiausia reikšmė y = f (x) 𝐦𝐚𝐱 𝒙𝝐 𝒂,𝒃 𝒇 𝒙 =𝒇 𝒂 =𝒎 n Mažiausia reikšmė 𝐦𝐢𝐧 𝒙𝝐 𝒂,𝒃 𝒇 𝒙 =𝒇 𝒃 =𝒏 o x a b

y Tegul funkcija y = f (x) intervale [а; b] turi kritinių taškų Savo didžiausią ir mažiausią reikšmes uždarajame intervale [а; b] funkcija įgyja arba ekstremumu taškuose, arba intervalo galuose Norint rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždarajame intervale, reikia: rasti funkcijos kritinius taškus intervalo viduje apskaičiuoti funkcijos reikšmes intervalo galuose bei kritiniuose taškuose iš visų gautų reikšmių išrinkti didžiausią ir mažiausią Didžiausia reikšmė y = f (x) c Mažiausia reikšmė o a b x y Didžiausia reikšmė http://www.terver.ru/maththeoryAlgebra.php c Mažiausia reikšmė d o a b x

y o a b x y x o b a Jei funkcija turi uždarajame intervale [а; b] vieną ekstremumo tašką, tai: jei šis taškas yra minimumo taškas, tai šiame taške funkcija įgyja mažiausią reikšmę jei šis taškas yra maksimumo taškas, tai šiame taške funkcija įgys didžiausią reikšmę y = f (x) Mažiausia reikšmė o a b x y Didžiausia reikšmė http://www.terver.ru/maththeoryAlgebra.php y = f (x) x o a b

Pavyzdys 1. Apskaičiuoti f /(x) 𝑦 ′ =3 𝑥 2 −27 2. Rasti funkcijos kritinius taškus intervalo viduje 𝑦 ′ =0 3 𝑥 2 −27=0 𝑥 2 =9 3. Apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir intervalo galuose 𝒚 𝟒 = 𝟒 𝟑 −𝟐𝟕∙𝟒=−𝟒𝟒 4. Iš gautų reikšmių išrinkti mažiausią reikšmę 𝐦𝐢𝐧 𝐱𝛜 𝟎;𝟒 𝒇 𝒙 =𝒇 𝟑 =−𝟓𝟒 Rasti mažiausią funkcijos 𝒚= 𝒙 𝟑 −𝟐𝟕𝒙 reikšmę uždarame intervale [0; 4] Sprendimo etapai x = –3 [0; 4] x = 3 [0; 4] y(0) = 0 y(3) = 33– 27 ∙ 3 = –54

Kuriame intervalo [– 4; –1] taške funkcija у =f (x) įgyja mažiausią reikšmę? Intervale [– 4; –1] funkcija у = f (x) yra mažėjanti, mažiausią reikšmę įgyja intervalo gale х = – 1. y = f /(x) 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 5 6 7 3 6 -1 -2 -3 -4 -5   Ats.: х = – 1 + f(x) f/(x) x -8 + – + – 8 -5

OPTIMIZAVIMO UŽDAVINIAI Pavyzdys . Lango, kurio apatinė dalis yra stačiakampis, o viršutinė ─ pusapskritimas, perimetras lygus a. Kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad pro langą patektų kuo daugiau dienos šviesos?

𝑆 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑆 𝑠𝑡𝑎č𝑖𝑎𝑘𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜 + 1 2 𝑆 𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑜 𝑆 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑆 𝑠𝑡𝑎č𝑖𝑎𝑘𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜 + 1 2 𝑆 𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑜 у ─ lango plotas х ─ lango perimetras х

Apskaičiuosime funkcijos S(x) išvestinę ir kritinius taškus: ─ kritinis taškas

─ maximumo taškas Ats.: pro langą pateks dauguma šviesos, kai