Pateiktis įkeliama. Prašome palaukti

Pateiktis įkeliama. Prašome palaukti

Apibendrintieji tiesiniai modeliai

Panašios pateiktys


Pateikčių temos: "Apibendrintieji tiesiniai modeliai"— Pateikties kopija:

1 Apibendrintieji tiesiniai modeliai
Seesam Insurance AS Lietuvos filialas Įmokų skaičiavimas ne gyvybės draudime: Apibendrintieji tiesiniai modeliai Rasa Ivanovaitė

2

3 Apibendrintųjų tiesinių modelių taikymas įmokų nustatymui

4 Apibendrintieji tiesiniai modeliai įmokų nustatymui
Seniau kainodaroje buvo naudojama vienfaktorė analizė

5 Draudėjo amžius Holder age

6 Drausmingumo kategorijos

7 Apibendrintieji tiesiniai modeliai įmokų nustatymui
Seniau kainodaroje buvo naudojama vienfaktorė analizė Apie 1960 metus aktuarai pritaikė MKM Paprasčiausias tiesinis modelis yra: 𝑌=𝜇+𝜀 𝑌= 𝛽 𝛽 1 𝑋 𝛽 2 𝑋 2 + … + 𝜀 𝑌=𝑋∙𝛽+𝜀, 𝜀~𝑁(0; 𝜎 2 ) Pavyzdys 1: Nagrinėjame nekomercinio sektoriaus lengvųjų automobilių draudimą, priklausomą nuo dviejų faktorių: teritorijos (miestas arba kaimas) ir lyties (vyras arba moteris). Stebime tokias vidutines žalas: Miestas Kaimas Vyras 800 500 Moteris 400 200

8 Pavyzdys 1 Miestas Kaimas Vyras 800 500 Moteris 400 200 Aiškinamasis kintamasis 𝑌 yra vidutinės žalos dydis. Aiškinantieji kintamieji 𝑋 𝑖 –teritorija ir lytis, tačiau modelyje jų gauname net 4: Vyras / moteris ( 𝑋 1 ir 𝑋 2 ) Miestas / kaimas ( 𝑋 3 ir 𝑋 4 ) 𝑌= 𝑌 1 𝑌 2 𝑌 3 𝑌 4 = 𝑉𝑦𝑟𝑎𝑠, 𝑚𝑖𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑉𝑦𝑟𝑎𝑠, 𝑘𝑎𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑀𝑜𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠, 𝑚𝑖𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑀𝑜𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠, 𝑘𝑎𝑖𝑚𝑎𝑠 = ; 𝑋 − indikatorių matrica = β= 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑦𝑟𝑎𝑚𝑠 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑠 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑠𝑡𝑢𝑖 = 𝛽 1 𝛽 2 𝛽 3 ; 𝜀 − paklaidų matrica = 𝜀 1 𝜀 2 𝜀 3 𝜀 4 .

9 Pavyzdys 1 Turime lygtis: Minimizuojame paklaidas:
𝑌 1 =800= 𝛽 𝛽 3 + 𝜀 1 𝑌 2 =500= 𝛽 𝜀 2 𝑌 3 =400= 0+𝛽 2 + 𝛽 3 + 𝜀 3 𝑌 4 =200=0+ 𝛽 𝜀 4 Minimizuojame paklaidas: 𝑆𝑆𝐸= 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 4 2 =( 800− 𝛽 1 − 𝛽 3 ) 2 +( 500− 𝛽 1 ) − 𝛽 2 − 𝛽 (200− 𝛽 2 ) 2 𝜕𝑆𝐸𝐸 𝜕 𝛽 1 =0→ 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝛽 1 = =1300 𝜕𝑆𝐸𝐸 𝜕 𝛽 2 =0→ 𝛽 2 + 𝛽 3 + 𝛽 2 = =600 𝜕𝑆𝐸𝐸 𝜕 𝛽 3 =0→ 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝛽 2 + 𝛽 3 = =1200 Gauname: 𝛽 1 =525; 𝛽 2 =175; 𝛽 3 =250 Miestas Kaimas Vyras 775 525 Moteris 425 175

10 Apibendrinimas 𝑌=𝑋∙𝛽+𝜀 Jei 𝜂=𝑋∙𝛽, tai 𝐸 𝑌 =𝜇= 𝑔 −1 𝜂
Keturių kintamųjų atveju: 𝐸 𝑌 = 𝑔 −1 𝑋∙𝛽 = 𝑔 −1 ( 𝛽 1 + 𝛽 3 ) 𝑔 −1 ( 𝛽 1 ) 𝑔 −1 ( 𝛽 2 + 𝛽 3 ) 𝑔 −1 ( 𝛽 2 ) Nagrinėjome modelį: 𝑌=𝑋∙𝛽+𝜀, 𝜀~𝑁(0; 𝜎 2 ) 𝐸 𝑌 = 𝑔 −1 𝑋∙𝛽 = 𝛽 1 + 𝛽 3 𝛽 1 𝛽 2 + 𝛽 3 𝛽 2 Normaliojo skirstinio tankio funkcija: 𝑓(𝑦; 𝜇, 𝜎 2 )=𝑒𝑥𝑝{− 𝑦−𝜇 𝜎 2 − 𝑙𝑛 2𝜋 𝜎 2 }

11 Apibendrinimas Tuomet didžiausio tikėtinumo funkcija:
𝐿(𝑦; 𝜇, 𝜎 2 )= 𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝{− 𝑦 𝑖 −𝜇 𝜎 2 − 𝑙𝑛 2𝜋 𝜎 2 } Logaritminė funkcija: 𝑙(𝑦; 𝜇, 𝜎 2 )= 𝑖=1 𝑛 − 𝑦 𝑖 −𝜇 𝜎 2 − 𝑙𝑛 2𝜋 𝜎 2 Logaritminė funkcija tiesinio modelio atveju: 𝑙(𝑦; 𝜇, 𝜎 2 )= 𝑖=1 𝑛 − 𝑦 𝑖 − 𝑗=1 𝑝 𝑋 𝑖𝑗 ∙ 𝛽 𝑗 𝜎 2 − 𝑙𝑛 2𝜋 𝜎 2 Mūsų atveju: 𝑙 ∗ 𝑦; 𝜇, 𝜎 2 =− (800− 𝛽 1 + 𝛽 3 ) 2 2 𝜎 2 − (500− 𝛽 1 ) 2 2 𝜎 2 − (400− 𝛽 2 + 𝛽 3 ) 2 2 𝜎 2 − (200− 𝛽 2 ) 2 2 𝜎 2 Gauname tas pačias lygtis ir sprendinius: 𝜕 𝑙 ∗ 𝜕 𝛽 1 =0→ 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝛽 1 = =1300 𝜕 𝑙 ∗ 𝜕 𝛽 2 =0→ 𝛽 2 + 𝛽 3 + 𝛽 2 = =600 𝜕 𝑙 ∗ 𝜕 𝛽 3 =0→ 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝛽 2 + 𝛽 3 = =1200 𝛽 1 =525; 𝛽 2 =175; 𝛽 3 =250

12 Pavyzdys 2 Miestas Kaimas Vyras 800 500 Moteris 400 200
Nagrinėkime Puasono modelį Funkcija g(x) = ln(x), modelio paklaidos turi Puasono pasiskirstymą 𝐸 𝑌 =𝑔 −1 𝑋∙𝛽 = 𝑔 −1 ( 𝛽 1 + 𝛽 3 ) 𝑔 −1 ( 𝛽 1 ) 𝑔 −1 ( 𝛽 2 + 𝛽 3 ) 𝑔 −1 ( 𝛽 2 ) = 𝑒 𝛽 1 + 𝛽 3 𝑒 𝛽 1 𝑒 𝛽 2 + 𝛽 3 𝑒 𝛽 2 Puasono skirstinio tankio funkcija: 𝑓(𝑦; 𝜇)= 𝑒 −𝜇 𝜇 𝑦 /𝑦! Didžiausio tikėtinumo funkcijos logaritmas: 𝑙 𝑦; 𝜇 = 𝑖=1 𝑛 𝑙𝑛 𝑓( 𝑦 𝑖 ; 𝜇 𝑖 ) = 𝑖=1 𝑛 − 𝜇 𝑖 + 𝑦 𝑖 𝑙𝑛 𝜇 𝑖 − 𝑙𝑛 𝑦 𝑖 ! 𝑙 𝑦; 𝑒 𝑋∙𝛽 = 𝑖=1 𝑛 −𝑒𝑥𝑝⁡( 𝑗=1 𝑝 𝑋 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 ) + 𝑦 𝑖 𝑗=1 𝑝 𝑋 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 − 𝑙𝑛 𝑦 𝑖 ! 𝑙 𝑦; 𝜇 =− 𝑒 𝛽 1 + 𝛽 ∙ 𝛽 1 + 𝛽 3 −𝑙𝑛 800! − 𝑒 𝛽 ∙𝛽 1 −𝑙𝑛 500!− − 𝑒 𝛽 2 + 𝛽 ∙ 𝛽 2 + 𝛽 3 −𝑙𝑛 400!− 𝑒 𝛽 ∙𝛽 2 −𝑙𝑛 200!

13 𝑙 𝑦; 𝜇 =− 𝑒 𝛽 1 + 𝛽 3 +800∙ 𝛽 1 + 𝛽 3 − 𝑒 𝛽 1 +500∙ 𝛽 1 −
Pavyzdys 2 Miestas Kaimas Vyras 800 500 Moteris 400 200 𝑙 𝑦; 𝜇 =− 𝑒 𝛽 1 + 𝛽 ∙ 𝛽 1 + 𝛽 3 −𝑙𝑛 800! − 𝑒 𝛽 ∙𝛽 1 −𝑙𝑛 500!− − 𝑒 𝛽 2 + 𝛽 ∙ 𝛽 2 + 𝛽 3 −𝑙𝑛 400!− 𝑒 𝛽 ∙ 𝛽 2 −𝑙𝑛 200! 𝑙 𝑦; 𝜇 =− 𝑒 𝛽 1 + 𝛽 ∙ 𝛽 1 + 𝛽 3 − 𝑒 𝛽 ∙ 𝛽 1 − − 𝑒 𝛽 2 + 𝛽 ∙ 𝛽 2 + 𝛽 3 − 𝑒 𝛽 ∙𝛽 2 𝜕 𝑙 ∗ 𝜕 𝛽 1 =0→ 𝑒 𝛽 1 ∙( 𝑒 𝛽 3 +1)=1300 𝜕 𝑙 ∗ 𝜕 𝛽 2 =0→ 𝑒 𝛽 2 ∙( 𝑒 𝛽 3 +1)=600 𝜕 𝑙 ∗ 𝜕 𝛽 3 =0→ 𝑒 𝛽 3 ∙( 𝑒 𝛽 1 + 𝑒 𝛽 2 )=1200 𝑒 𝛽 1 =479; 𝑒 𝛽 2 =221; 𝑒 𝛽 3 =1, → Miestas Kaimas Vyras 821,1 479,0 Moteris 378,9 221,1

14 Eksponentiniai skirstiniai (1/2)
Normalusis ir Puasono skirstiniai priklauso eksponentinių skirstinių šeimai. Formaliai eksponentinė šeima aprašoma formule: 𝑓 𝑖 𝑦 𝑖 , 𝜃 𝑖 ,𝜙 =𝑒𝑥𝑝⁡{ 𝑦 𝑖 𝜃 𝑖 −𝑏 𝜃 𝑖 𝑎 𝑖 𝜙 +𝑐 𝑦 𝑖 ,𝜙 }, kur 𝑎 𝑖 𝜙 , 𝑏 𝜃 𝑖 ir 𝑐 𝑦 𝑖 ,𝜙 yra funkcijos; 𝜃 𝑖 - parametras susijęs su vidurkiu; 𝜙 yra skalės parametras susijęs su dispersija. Eksponentinė šeima turi dvi savybes: Skirstinys pilnai apibrėžiamas per vidurkį ir dispersiją 𝑌 𝑖 yra vidurkio funkcija: 𝑉𝑎𝑟(𝑌 𝑖 )= 𝜙 𝑉( 𝜇 𝑖 ) 𝜔 𝑖 , kur 𝑉 𝑥 yra dispersijos funkcija; 𝜙 - skalės parametras; 𝜔 𝑖 - i-tojo stebėjimo svorio konstanta Normalusis, Puasono, Gama, Binominis ir atvirkštinis Gauso yra eksponentiniai skirstiniai. Dispersijų funkcijos tokios: Normalusis 𝑉(𝑥) 1 Puasono 𝑥 Gama 𝑥 2 Binominis 𝑥(1−𝑥) Atvirkštinis Gauso 𝑥 3

15 Eksponentiniai skirstiniai (2/2)
Apibendrinti tiesiniai modeliai reikalauja tik, kad būtų ryšio funkcija (link function) 𝑔 −1 𝜂 , kuri tenkintų kelias adityvumo savybes (adityvumą kovariacijomis). 𝜂=𝑋∙𝛽 𝜇= 𝑔 −1 𝜂 - diferencijuojama ir monotoniška Tipiniai pasirinkimai yra: ξ apibrėžia poslinkius (offsets) 𝜂=𝑋∙𝛽+ξ 𝐸 𝑌 =𝜇= 𝑔 −1 𝜂 = 𝑔 −1 𝑋∙𝛽+ξ Bendrai apibendrintuosius tiesinius modelius galime apibrėžti taip: 𝝁 𝒊 =𝑬 𝒀 𝒊 = 𝒈 −𝟏 𝜼 𝒊 =𝒈 −𝟏 𝒋 𝑿 𝒊𝒋 𝜷 𝒋 + 𝝃 𝒊 ; 𝜼 𝒊 vadinami prediktoriais 𝑽𝒂𝒓 𝒀 𝒊 = 𝝓 𝑽( 𝝁 𝒊 ) 𝝎 𝒊 Indikatorinė 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑔 −1 (𝑥) 𝑥 Logoritminė 𝑙𝑛⁡(𝑥) 𝑒 𝑥 Logit 𝑙𝑛⁡(𝑥/(1−𝑥)) 𝑒 𝑥 (1+ 𝑒 𝑥 ) Atvirkštinė 1 𝑥

16 Siūlomi tipiniai modeliai
Y Žalų dažnis Žalų skaičius Vidutinė žala Atnaujinimo rodikliai Ryšio funkcija g(x) ln(x) ln(x/(1-x)) Paklaidos Puasono Gama Binominis Skalės parametras ϕ 1 Apskaičiuojamas Dispersijos funkcija V(x) x x 2 x(1-x) Svoriai ω Sutarties trukmė Poslinkis ξ ln(Sutarties trukmė)

17 Prielaidos ir rezultatai (1/3)
Dažniausiai naudojamas daugiklių (multiplikatyvinis) modelis. Funkcija g(x) = ln(x), modelio paklaidos turi Puasono pasiskirstymą: Tikėtina žala = Čia pradinė konstanta. Pradinė grupė parenkama taip, kad išvengtume faktorių priklausomumo. Faktoriai, kurie gali būti naudojami įmokų apskaičiavime: Automobilio parametrai (darbinis tūris, galia, markė, modelis, amžius ir t.t.) Draudėjo vairavimo stažas Draudėjo amžius Miestas, regionas Drausmingumo kategorijos Naudojimo teritorija (-) Kiti TP valdytojai Sutarties trukmė Kiti Galiausiai pridedamos veiklos sąnaudos, kad gauti galutinę sutarties įmoką.

18 Prielaidos ir rezultatai (2/3)
Grynosios įmokos metodas: E(P) = E(C) + veiklos sąnaudos Nuostolingumo metodas: CR = LR + ER Stochastinis modeliavimas, apibendrintieji tiesiniai modeliai Klausimai: Kaip nustatyti rizikos faktoriaus svarbą tarifų sistemoje? Kaip įvertinti rizikos faktorių tarpusavio priklausomybę? Kaip pasirinkti įmokos nustatymo pagrindą, kas iš tiesų charakterizuoja riziką (pvz.: draudimo suma ar markė ir modelis)? Kaip įvertinti naujo tarifo įtaką portfelio struktūrai ir kaip naują tarifą priims rinka?

19 Prielaidos ir rezultatai (3/3)
Analizei turi būti pakankamai duomenų Vienfaktorės analizės metu sužiūrimos prielaidos, panašios mažos grupės sujungiamos Trumpalaikės sutartys perskaičiuojamos į metines Modeliuojama žala polisui. Prie gauto dydžio pridedamos veiklos sąnaudos: 𝐸 𝑃 = 𝐸(𝐶) 𝐿𝑅 Įmokos struktūra, atitinkanti 0 pelningumą, tokia: Draudiminis nuostolingumas = 55% Veiklos sąnaudos įskaitant tarpininkų komisą bei Biuro mokestį = 32% Žalų sureguliavimo kaštai = 5% IBNR = 5% Perdraudimo sąnaudos = 3%

20 Techninės detalės Reikia išsirinkti pradinę grupę, t.y. panaikinti visas priklausomybes Realiai gauname tokias matricas ir vektorius: Faktoriai Žalos Naudingi R kodai  > Faktoriai<-as.matrix(read.table('Faktoriai.txt',header=TRUE)) > Zalos<-as.matrix(read.table('Zalos.txt',header=TRUE)) > Modelis<-glm(Zalos~Faktoriai,family=poisson) Literatūra: A Practitioner‘s Guide to Generalized Linear Models, Towers Watson Nuoroda

21 Ačiū už dėmesį!


Atsisiųsti ppt "Apibendrintieji tiesiniai modeliai"

Panašios pateiktys


Google reklama